2012年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题

1. i是虚数单位，复数 $\frac{7 - i}{3 + i}$ =（）

A、2+i B、2﹣i C、﹣2+i D、﹣2﹣i

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2. 设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）

A、﹣1 B、1 C、3 D、9

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4. 函数f（x）=2^x+x³﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 在（2x²﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的二项展开式中，x项的系数为（）

A、10 B、﹣10 C、40 D、﹣40

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6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\pm \frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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7. 已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = (1 - λ) \vec{A C}$ ，λ∈R．若 $\vec{B Q} \cdot \vec{C P}$ =﹣ $\frac{3}{2}$ ，则λ=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{- 3 \pm \sqrt{2}}{2}$

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8. 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）²+（y﹣1）²=1相切，则m+n的取值范围是（）

A、[1﹣ $\sqrt{3}$ ，1+ $\sqrt{3}$ ] B、（﹣∞，1﹣ $\sqrt{3}$ ]∪[1+ $\sqrt{3}$ ，+∞） C、[2﹣2 $\sqrt{2}$ ，2+2 $\sqrt{2}$ ] D、（﹣∞，2﹣2 $\sqrt{2}$ ]∪[2+2 $\sqrt{2}$ ，+∞）

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二、填空题

9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取　18　所学校，中学中抽取所学校．

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10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m³ ．

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11. 已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ， n= ．

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12. 已知抛物线的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 p t^{2} \\ y = 2 p t \end{matrix}$ （t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．

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13. 如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF= $\frac{3}{2}$ ，则线段CD的长为．

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14. 已知函数y= $\frac{| x^{2} - 1 |}{x - 1}$ 的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）+sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）+2cos²x﹣1，x∈R．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、求函数f（x）在区间[ $- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}$ ]上的最大值和最小值．

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16. 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)、求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)、求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)、用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

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17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

(1)、证明：PC⊥AD；

(2)、求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；

(3)、设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

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18. 已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n ， {b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄﹣b₄=10．

(1)、求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)、记T_n=a_nb₁+a_n_﹣₁b₂+…+a₁b_n ， n∈N^* ，证明：T_n+12=﹣2a_n+10b_n（n∈N^*）．

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、若直线AP与BP的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；

(2)、若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ $\sqrt{3}$ ．

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20. 已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．

(1)、求a的值；

(2)、若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数k的最小值；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2$ （n∈N^*）．

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