人教版备考2023中考数学二轮复习专题3 分式

试卷更新日期：2023-01-05 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值是0，则x的值是（　　）

A、 $\pm 1$ B、0 C、 $- 1$ D、1

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2. 如果将分式 $\frac{y}{2 x + y}$ （x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式 $\frac{y}{2 x + y}$ 的值（　　）

A、不改变 B、扩大为原来的9倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ D、扩大为原来的3倍

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3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）

A、3.2×10⁷ B、3.2×10⁸ C、3.2×10^-7 D、3.2×10^-8

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4. 若 $x y = - 6$ ，其中 $x > y$ ，则下列分式的值一定比 $\frac{y}{x}$ 的值大的是（）

A、 $\frac{3 y}{3 x}$ B、 $\frac{3 y}{x}$ C、 $- \frac{3}{x}$ D、 $\frac{y + 3}{x}$

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5. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b - a}$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知实数a、b满足 $a^{2} = 2 - 2 a ， b^{2} = 2 - 2 b$ ，且 $a \neq b$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、 $- 2$

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7. 使分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，这时x应为（）

A、x＝±1 B、x＝1 C、x＝1 且 x≠﹣1 D、x 的值不确定

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8. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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9. 已知 $y_{1} = \frac{1}{x - 1}$ ， $y_{2} = \frac{1}{1 - y_{1}}$ ， $y_{3} = \frac{1}{1 - y_{2}}$ ， $y_{4} = \frac{1}{1 - y_{3}}$ ， …， $y_{n} = \frac{1}{1 - y_{n - 1}}$ ，则y₂₀₂₁=（）

A、 $\frac{x - 1}{x - 2}$ B、2-x C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、1

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10. 下列结论中： ①若 ${(1 - x)}^{x + 1} = 1$ ，则 $x = - 1$ ；②若 $a^{2} + b^{2} = 3 ， a - b = 1$ ，则 $(2 - a) (2 - b)$ 的值为 $5 - 2 \sqrt{5}$ ； ③若规定：当 $a b \neq 0$ 时， $a \otimes b = a + b - a b$ ，若 $a \otimes (4 - a) = 0$ ，则 $a = 2$ ；④若 $4^{x} = a ， 8^{y} = b$ ，则 $2^{4 x - 3 y}$ 可表示为 $\frac{2 a}{b}$ ； ⑤若 $(x + 1) (x - a)$ 的运算结果中不含 $x$ 的一次项，则 $a = 1$ . 其中正确的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

11. 某药品原来每盒p元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买盒．

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12. 分式 $\frac{(m + 1) (m - 2)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为0，则m= ．

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13. 方程 $\frac{1}{2 x - 3} + 1 = \frac{2}{3 - 2 x}$ 的最简公分母是．

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14. 若 $\frac{2 a + 8}{a + 1}$ 的值为整数，则正整数a的值为．

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15. 设实a，b，c满足： $a + b + c = 3 ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 - c} + \frac{b^{2} + c^{2}}{2 - a} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2 - b}$ = ．

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16. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ .

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三、计算题

17. 计算： $(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{1}{x - 1}$

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四、解答题

18. 先化简，再求值： $\frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} - 2 x + 1} \div (\frac{- 4 x}{x - 1} - x + 1)$ ，其中 $| x - 3 | = 2$ ．

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19. 已知 $x^{2} - 10 x + 25$ 与 $| y - 3 |$ 互为相反数，求 ${(\frac{y^{2}}{x - y})}^{2} \cdot \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{y^{3}} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ 的值.

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20. 已知x，y满足 $x^{2} + y^{2}$ ﹣4x﹣6y+13＝0，求 ${(- \frac{y}{x^{3}})}^{3} \div {(- \frac{1}{x y})}^{4} \cdot {(\frac{x}{y^{2}})}^{2}$ 的值．

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五、综合题

21. 阅读理解
材料1：为了研究分式 $\frac{1}{x}$ 与其分母x的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
$1$
$2$
$3$
$4$
…
$\frac{1}{x}$
…
$- 0.25$
$- 0 . \dot{3}$
$- 0.5$
$- 1$
无意义
$1$
$0.5$
$0 . \dot{3}$
$0.25$ .
…
从表格数据观察，当 $x > 0$ 时，随着x的增大， $\frac{1}{x}$ 的值随之减小，若x无限增大，则 $\frac{1}{x}$ 无限接近于0；
当 $x < 0$ 时，随着x的增大， $\frac{1}{x}$ 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
$\frac{x + 1}{x - 4} = \frac{(x - 4) + 5}{x - 4} = \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{5}{x - 4} = 1 + \frac{5}{x - 4}$
根据上述材料完成下列问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，随着x的增大， $1 + \frac{1}{x}$ 的值（增大或减小）；
当 $x < 0$ 时，随着x的增大， $\frac{x + 2}{x}$ 的值（增大或减小）；

(2)、当 $x > 1$ 时，随着x的增大， $\frac{3 x + 1}{x - 1}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数；

(3)、当 $0 < x < 2$ 时，请直接写出代数式 $\frac{2 x - 1}{x - 3}$ 值的范围．

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22. 在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ．

(1)、现有以下代数式：① $\frac{4}{2 - m}$ ， ② $\frac{m^{2} - 1}{3 m + 2}$ ， ③ $\frac{m - 1}{2}$ ， ④ $\frac{m - 1}{2 + m^{2}}$ ．其中是“真分式”的为；是“假分式”的为（注：填写序号即可）

(2)、若分式 $\frac{3}{2 m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值；

(3)、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如： $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ ．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如： $\frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ ；
$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请解决以下问题：若分式 $\frac{2 m^{2} - m - 1}{m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值．

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x	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	$1$	$2$	$3$	$4$	…
$\frac{1}{x}$	…	$- 0.25$	$- 0 . \dot{3}$	$- 0.5$	$- 1$	无意义	$1$	$0.5$	$0 . \dot{3}$	$0.25$ .	…

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一、单选题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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