浙教版备考2023年中考数学一轮复习47.直线的相交于平行

试卷更新日期：2023-01-03 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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2. 过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1＝54°，则∠2的度数为（）

A、26° B、36° C、44° D、54°

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4. 如图，直线 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 100 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3 =$ （）

A、 $70 °$ B、 $110 °$ C、 $130 °$ D、 $150 °$

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5. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O$ ；若 $∠ 1 = 30^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、60° D、150°

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6. 当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射.如图， $A B ⊥$ 液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角 $∠ 1 = 50 °$ ，折射角 $∠ 2 = 36 °$ ，则 $∠ E D F$ 的度数为（）

A、14° B、16° C、18° D、25°

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ D A F = \frac{1}{3} ∠ D A B$ ， $∠ E B G = \frac{1}{3} ∠ E B A$ ，则射线 $A F$ 与 $B G$ （）

A、平行 B、延长后相交 C、反向延长后相交 D、可能平行也可能相交

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8. 如图，把长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 对折后使两部分重合，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ A E F =$ （　　）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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9. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ B E D = 110 °$ ， $B F$ 平分 $∠ A B E$ ， $D F$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $∠ B F D =$ （）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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10. 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截， $A B ∥ C D$ ， E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（）

A、③④ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题

11. a、b、c是直线，且a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．

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12. 在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是.

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13. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A O B$ 的边 $O B$ 在直线 $b$ 上， $∠ A O B = 55 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $75 °$ 至 $△ A_{1} O B_{1}$ ，边 $A_{1} O$ 交直线 $a$ 于点 $C$ ，则 $∠ 1 =$ $°$ ．

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14. 两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若 $B C ∥ E F$ ，则∠DMC的大小为．

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15. 1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为．

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16. 如图，直线l₁ ， l₂ ， l₃被直线l₄所截，若l₁ $∥$ l₂ ， l₂ $∥$ l₃ ， ∠1＝126°32'，则∠2的度数是．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．

(1)、在图1中画一条线段垂直AB．

(2)、在图2中画一条线段平分AB．

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18. 如图，AB，CD交于点O，OA⊥OE，OF平分∠BOC，∠COF＝68°．求∠DOE的度数．

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19. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $h$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ， $S_{△ D B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ．
∴ $S_{△ A B C} = S_{△ D B C}$ ．
【探究】

(1)、如图②，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，设点 $A$ ， $D$ 到直线 $l_{2}$ 的距离分别为 $h$ ， $h^{'}$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{h}{h^{'}}$ ．
证明：∵ $S_{△ A B C}$       ▲
      ▲
      ▲

(2)、如图③，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，连接 $A D$ 并延长交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．
证明：过点 $A$ 作 $A E ⊥ B M$ ，垂足为 $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B M$ ，垂足为 $F$ ，则 $∠ A E M = ∠ D F M = 90 °$ ，
∴ $A E ∥$       ▲ ．
∴ $△ A E M ∽$       ▲ ．
∴ $\frac{A E}{D F} = \frac{A M}{D M}$ ．
由【探究】（1）可知 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} =$       ▲ ，
∴ $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．

(3)、如图④，当点 $D$ 在 $l_{2}$ 下方时，连接 $A D$ 交 $l_{2}$ 于点 $E$ ．若点 $A$ ， $E$ ， $D$ 所对应的刻度值分别为5，1.5，0， $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}}$ 的值为．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E 、 D G$ 分别平分 $∠ A B C 、 ∠ A D C$ ，交 $A C$ 于点 $E 、 G$ .

(1)、求证： $B E ∥ D G ， B E = D G$ ；

(2)、过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ .若 $▱ A B C D$ 的周长为56， $E F = 6$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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21. 如图

(1)、如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂ ，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC.求证：直线l₁垂直平分AC；

(2)、如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

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22. 小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.”，试着“玩”起数学来：

(1)、【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.

(2)、【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，

①若∠2＝22°，求∠1的度数；

②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.

(3)、【拓展提高】
如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系.

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23. 在综合与实践课上，老师与同学们以“两条平行线 $A B ， C D$ 和一块含 $6 0^{∘}$ 角的直角三角尺 $E F G (∠ E F G = 9 0^{∘} ， ∠ E G F = 6 0^{∘})$ ”为主题开展数学活动.

(1)、如图(1)，若三角尺的 $6 0^{∘}$ 角的顶点 $G$ 放在 $C D$ 上，若 $∠ 2 = 2 ∠ 1$ ，求 $∠ 1$ 的度数；

(2)、如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 $E ， G$ 分别放在 $A B$ 和 $C D$ 上，请你探索并说明 $∠ A E F$ 与 $∠ F G C$ 间的数量关系；

(3)、如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点 $F$ 放在 $C D$ 上， $3 0^{∘}$ 角的顶点 $E$ 落在 $A B$ 上.若 $∠ A E G = α ， ∠ C F G = β$ ，则 $∠ A E G$ 与 $∠ C F G$ 的数量关系是什么?用含 $α ， β$ 的式子表示.

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24. 如图①， $∠ E F H = 90 °$ ，点A，C分别在射线FE和FH上， $A B ∥ C D$ ．

(1)、若 $∠ F A B = 150 °$ ，则 $∠ H C D$ 的度数为；

(2)、小明同学发现，无论 $∠ F A B$ 如何变化， $∠ F A B - ∠ H C D$ 的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图②，过点A作 $A M ∥ F H$ ，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由；

(3)、如图③，把“ $∠ E F H = 90 °$ ”改为“ $∠ E F H = 120 °$ ”，其他条件保持不变，猜想 $∠ F A B$ 与 $∠ H C D$ 的数量关系，并说明理由．

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