浙教版备考2023年中考数学一轮复习80.相似三角形的性质与判定

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共36分）

1. 下列各组中两个图形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个正方形 B、两个矩形 C、两个菱形 D、两个平行四边形

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3. 下列命题中，属于真命题的是（　　　）

A、两个菱形一定相似 B、两个等腰直角三角形一定相似 C、两个矩形一定相似 D、两个周长相等的三角形一定相似

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4. 下列图形中，一定相似的是（）

A、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B、有一个内角为80°的两个等腰三角形 C、两个长方形 D、有一个内角为80°的两个菱形

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5. △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（）

A、54 B、36 C、27 D、21

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6. 如图，以点O为位似中心，作四边形 $A B C D$ 的位似图形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ﹐已知 $\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{1}{3}$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积是2，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是（）

A、4 B、6 C、16 D、18

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $C$ 为 $△ A O B$ 的 $O A$ 边上一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C$ 、 $D$ 两点纵坐标分别为1、3，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， $m$ 和6，8， $n$ ，且这两个直角三角形不相似，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $10 + \sqrt{7}$ 或 $5 + 2 \sqrt{7}$ B、15 C、 $10 + \sqrt{7}$ D、 $15 + 3 \sqrt{7}$

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9. 矩形相邻的两边长分别为25和 $x (x < 25)$ ，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则 $x$ 的值为（）

A、5 B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{10}$ D、10

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10. 两相似多边形的面积比是 $9 ： 16$ ，较小多边形的周长为 $18 c m$ ，则较大多边形的周长为（）

A、 $24 c m$ B、 $27 c m$ C、 $28 c m$ D、 $32 c m$

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11. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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12. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（）

A、（ $\frac{4}{3}$ ）³ B、（ $\frac{4}{3}$ ）⁷ C、（ $\frac{4}{3}$ ）⁶ D、（ $\frac{3}{4}$ ）⁶

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二、填空题（每题4分，共24分）

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 边上，点 $E$ 在 $A C$ 边上，请添加一个条件，使 $△ A D E ∽ △ A B C$ .

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14. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A D$ ， $B C$ 相交于点 $E$ ，若 $A E ： D E = 1 ： 2$ ， $A B = 2.5$ ，则 $C D$ 的长为．

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15. 已知 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是位似图形，位似比是 $1 ： 3$ ，则 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积比．

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16. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形 $A B C D$ 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} ： A B = 2 ： 1$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的外接圆的周长为．

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17. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为米.

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 位似，位似中心是坐标原点O．若点 $A (4 ， 0)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 周长的比值是．

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三、解答题（共7题，共60分）

19. 如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．

(1)、在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝ $\frac{1}{3}$ AC；

(2)、在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是边AC上一点，且 $B E = B C$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ．

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21. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O ，其中水面截线 $MN ∥ AB$ ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．

(1)、求∠C的大小及AB的长；

(2)、请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： $\tan 76 °$ 取4， $\sqrt{17}$ 取4.1）

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22. 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．

(1)、小丽先调整自己的位置至点 $P$ ，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ （如图①），斜边 $A B$ 平行于地面 $M N$ （点 $M$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $N$ 在一直线上），且点 $D$ 在边 $A C$ （较长直角边）的延长线上，此时测得边 $A B$ 距离地面的高度 $E F$ 为1.5米，小丽与古树的距离 $A F$ 为16米，求古树的高度 $D E$ ；

(2)、为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 $Q$ ，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ （如图②），使直角边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ （较短直角边）平行于地面 $M N$ （点 $M$ 、 $Q$ 、 $E$ 、 $N$ 在一直线上），点 $D$ 在斜边 $B^{'} A^{'}$ 的延长线上，且测得此时边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？

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23. 如图，一次函数 $y = 2 x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1 ， 4)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、 $k =$ ， $b =$ ；

(2)、连接并延长 $A O$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴上，若以 $O$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的三角形与 $△ A O B$ 相似，求点 $D$ 的坐标．

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24. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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25. 综合与探究

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在边 $B C ， C D$ 上，且 $A E ⊥ B F$ ，请直接写出线段 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系．

(2)、【类比探究】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，点 $E ， F$ 分别在边 $B C ， C D$ 上，且 $A E ⊥ B F$ ，请写出线段 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系，并证明你的结论．

(3)、【拓展延伸】
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， D为 $B C$ 中点，连接 $A D$ ，过点B作 $B E ⊥ A D$ 于点F，交 $A C$ 于点E，若 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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