浙教版备考2023年中考数学一轮复习79.比例与比例线段

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ， $d = 4$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ， $d = 6$ C、 $a = 2$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ， $d = 4$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ， $d = 5$

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2. 如果线段 $a = 4 c m ， b = 16 c m$ ，那么a和b的比例中项是（　　）

A、 $4 c m$ B、 $8 c m$ C、 $\pm 8 c m$ D、 $16 c m$

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3. 如果 $x ： y = 1 ： 2$ ，那么下列各式不一定成立的是（　　）

A、 $\frac{x + y}{y} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{x - y}{y} = - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 x}{y} = 1$ D、 $\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{2}{3}$

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4. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a - b}{b}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（）

A、100km B、2000m C、10km D、20km

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6. 已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝ $\frac{a c}{b}$ ，以下作法正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，下列估算正确的是（）

A、 $0 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} > 1$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 $M N$ ，直线 $M N$ 与 $A B$ 相交于点D，连接 $C D$ ，若 $A B = 3$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、6 B、3 C、1.5 D、1

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 四条线段a、b、c、d成比例，满足 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，其中 $b = 3$ m， $c = 4$ m， $d = 6$ m，则a=m.

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12. 如图，已知 $F$ 是 $△ A B C$ 内的一点， $F D ∥ B C$ ， $F E ∥ A B$ ，若 $▱ B D F E$ 的面积为2， $B D = \frac{1}{3} B A$ ， $B E = \frac{1}{4} B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积是.

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13. 如图，圆中扇子对应的圆心角 $α$ （ $α < 180 °$ ）与剩余圆心角 $β$ 的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则 $β - α$ 的度数是．

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14. 如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD， $S_{△ A B C} = 6$ ，则k= ．

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15. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点 $E$ 是 $A D$ 的黄金分割点，即 $D E \approx 0.618 A D$ .延长 $H F$ 与 $A D$ 相交于点 $G$ ，则 $E G \approx$ $D E$ .（精确到0.001）

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16. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做 $E F$ 将矩形窗框 $A B C D$ 分为上下两部分，其中E为边 $A B$ 的黄金分割点，即 $B E^{2} = A E \cdot A B$ .已知 $A B$ 为2米，则线段 $B E$ 的长为米.

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三、作图题（共9分）

17. 如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在图中按要求作出所求的点.

(1)、如图一，将线段AB三等分

(2)、如图二，使AP＝ $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$ ，并保留作图痕迹。

(3)、如图三，在△ABC内部找一点P，使得S_△PAB：S_△PBC：S_△PAC=1：2：3

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四、解答题（共7题，共57分）

18. 已知实数a、b、c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{4}$ ，且 $a - 3 b + 2 c = - 8$ ．求： $\frac{a - 2 b}{2 c - 3 b}$ 的值．

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19. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，直线AC依次交l₁ ， l₂ ， l₃于A，B，C三点，直线DF依次交l₁ ， l₂ ， l₃于D，E，F三点，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{4}{7}$ ，DE=12，求EF的长．

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20. 如图

(1)、如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ，CD平分 $∠ A C B$ ，交AB于点D， $D E$ // $A C$ ，交BC于点E.
①若 $D E = 1$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，求BC的长；

②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2， $∠ C B G$ 和 $∠ B C F$ 是△ABC的2个外角， $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ，CD平分 $∠ B C F$ ，交AB的延长线于点D， $D E$ // $A C$ ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 $S_{1}$ ，△CDE的面积为 $S_{2}$ ，△BDE的面积为 $S_{3}$ .若 $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，求 $\cos ∠ C B D$ 的值.

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21.

(1)、如图1， $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $A B$ 上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①线段 $D B$ 和 $D G$ 的数量关系是 ▲ ；

②写出线段 $B E 、 B F$ 和 $D B$ 之间的数量关系.

(2)、当四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A D C = 60^{\circ}$ ，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $A B$ 所在直线上的一点，连接 $B D 、 D E$ ，将 $∠ B D E$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线 $B C$ 交于点 $F$ 和点 $G$ .
①如图2，点 $E$ 在线段上时，请探究线段 $B E 、 B F$ 和 $B D$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$ 在线段 $A B$ 的延长线上时， $D E$ 交射线 $B C$ 于点 $M$ ；若 $B E = 1 ， A B = 2$ ，直接写出线段 $G M$ 的长度.

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22. 我们知道：如图①，点 $B$ 把线段 $A C$ 分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .那么称点 $B$ 为线段 $A C$ 的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、在图①中，若 $A C = 20 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ ；

(2)、如图②，用边长为 $20 c m$ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B C D$ 得折痕 $E F$ ，连接 $C E$ ，将 $C B$ 折叠到 $C E$ 上，点 $B$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C G$ .试说明 $G$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上任取点 $E$ $(A E > D E)$ ，连接 $B E$ ，作 $C F ⊥ B E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，延长 $E F$ 、 $C B$ 交于点 $P$ .他发现当 $P B$ 与 $B C$ 满足某种关系时 $E$ 、 $F$ 恰好分别是 $A D$ 、 $A B$ 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\frac{1}{4 a}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\frac{1}{4 a}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\frac{1}{2 a}$ ，例如，抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\frac{1}{2}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\frac{1}{2}$ .其中MF=MN，FH=2OH=1.

(1)、【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：， .

(2)、【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝ $\frac{1}{8}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；

(4)、【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\frac{A C}{A B}$ ＝ $\frac{B C}{A C}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当 $\frac{M H}{M F}$ ＝ $\sqrt{2}$ 时，请直接写出△HME的面积值.

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24. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.

(1)、特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，分别求出线设BD、CE和DE的长；

(2)、规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)、尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S_△_BFC ．

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