浙教版备考2023年中考数学一轮复习75.命题与证明

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列命题中，是真命题的有（）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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2. 下列说法正确的是（）

A、命题一定有逆命题 B、所有的定理一定有逆定理 C、真命题的逆命题一定是真命题 D、假命题的逆命题一定是假命题

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3. 下列命题错误的是（）

A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B、负数的立方根是负数 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、五边形的外角和是 $360 °$

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4. 下列命题：① ${(m \cdot n^{2})}^{3} = m^{3} n^{5}$ ；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解 $x^{3} - 4 x = x (x + 2) (x - 2)$ ；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x \geq 1$ ．其中假命题的个数是（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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5. 以下命题：①面包店某种面包售价 $a$ 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了 $0.14 a$ 元；②等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $E$ 是 $A C$ 边上一点，若 $A D = A E$ ，则 $∠ B A D = 3 ∠ E D C$ ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 下列命题中是假命题的是（）

A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 B、如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等 C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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7. 下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a²≤1”是假命题的反例是（）

A、a=2 B、a=1 C、a=-1 D、a=-2

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8. 能说明命题“对于任何实数a，都有|a|＝a”是假命题的反例是（）

A、a＝-2 B、 $a = \frac{1}{2}$ C、a＝1 D、 $a = \sqrt{5}$

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9. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0），下列命题中错误的是（）

A、a+b+c=0，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ B、若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根 C、若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立 D、若x₀是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$

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10. 下列说法：
①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③有一个角是 $40 °$ ，并且两腰分别相等的两个等腰三角形全等；④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3 D、4

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 请写出命题“如果 $a > b$ ，那么 $b - a < 0$ ”的逆命题：.

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12. 把命题：对顶角相等．改写“如果 $· · · · · ·$ 那么 $· · · · · ·$ ”的形式为：．

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13. 命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是（填“真命题”或“假命题”）．

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14. 在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 .

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15. ①若ab＞0，则a＞0，b＞0；
②一个角的补角大于这个角；

③两直线平行，同位角相等；

④有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；

⑤点P坐标为（-2，6），将其先向右平移6个单位，再向下平移8个单位，得到点P₁ ，坐标为（4，-2）.

其中是真命题的有.

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16. 请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：，逆命题是一个（填真命题或假命题）．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．

(1)、根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， ▲ ；
求证： ▲ ．

(2)、证明：

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18. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．

(1)、在方框中填空，以补全已知和求证；
已知：如图，在四边形ABCD中，

BC＝AD，

AB＝．

求证：四边形ABCD是四边形．

(2)、按嘉淇的想法写出证明：
证明：

(3)、用文字叙述所证命题的逆命题为．

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19. 如图，现有以下三个条件：① $A B / / C D ，$ ② $∠ B = ∠ C ，$ ③ $∠ E = ∠ F$ .请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.

(1)、你构造的是哪几个命题？

(2)、你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）.

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20. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．

(1)、请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，若CD＝3 $\sqrt{3}$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度．

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21. 下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为 $60 °$ ”尺规作图的过程．
已知：如图， $⊙ O$ ．

求作：矩形 $A B C D$ ，使矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 的夹角为 $60 °$

作法：①作 $⊙ O$ 的直径 $A C$ ；

②以点A为圆心， $A O$ 长为半径作弧．交直线 $A C$ 上方的圆于点B；

③连接 $B O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点D；

④顺次连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 和 $D A$ ．

四边形 $A B C D$ 就是所求作的矩形，

根据小明设计的尺规作图过程

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵点A，C都在 $⊙ O$ 上，

$∴ O A = O C$ ， $O B = O D$ ．

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形．（          ）（填推理依据）．

又 $∵ A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ A B C = 90 °$ （          ）（填推理依据）．

∴四边形 $A B C D$ 是矩形．

又 $∵ A B = A O =$    ▲   ．

$∴ Δ A B O$ 是等边三角形．

$∴ ∠ A O B = 60 °$

∴四边形 $A B C D$ 是所求作的矩形．

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22. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上.

(1)、若BD=CE，CD=BE，求证AB=AC；

(2)、分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③.以①、③为条件，②为结论构成命题1，以②、③为条件，①为结论构成命题2.则命题1是命题，命题2是命题(选择“真”或“假“填入空格)

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23. 如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1， $A D 是 △ A B C$ 的中线，则 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 就是互补三角形.

(1)、根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）
①互补三角形一定不全等.命题

②互补三角形的面积相等.命题

(2)、如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 为互补三角形， $A B ＝ A E ， A C ＝ A D ， A F$ 是 $△ A B C$ 的中线.
求证： $A F ＝ \frac{1}{2} D E$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $B ， E ， D$ 三点共线，连结CE， $C D$ ，四边形 $A B E C$ 为圆内接四边形.当 $∠ B A E ＝ 12 0^{∘}$ 时，求 $\frac{B D - A F}{C D}$ 的值.

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24. 阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= $\sqrt{3}$ ， AB=c=2，那么 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ = $\frac{c}{s i n C}$ 的关系．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)、如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ = $\frac{c}{s i n C}$ ”的关系是否成立？答：

(2)、完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ = $\frac{c}{s i n C}$ ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．

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