浙教版备考2023年中考数学一轮复习74.圆的综合

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图所示，已知三角形 $A B E$ 为直角三角形， $∠ A B E = 90 ° ， B C$ 为圆 $O$ 切线， $C$ 为切点， $C A = C D ，$ 则 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 面积之比为（）

A、 $1 ： 3$ B、 $1 ： 2$ C、 $\sqrt{2} ： 2$ D、 $(\sqrt{2} - 1) ： 1$

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2. 如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，连接OA，OB，OP，AD.若∠COD+∠AOB＝180°， $C D // A B ，$ AB＝6，则AD的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{6}$ C、2 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{13}$

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3. 如图，已知 $O A = 6$ ， $O B = 8$ ， $B C = 2$ ， $⊙ P$ 与 $O B$ 、 $A B$ 均相切，点P是线段 $A C$ 与抛物线 $y = a x^{2}$ 的交点，则a的值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、5

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 12$ ， $P$ 为矩形内一点， $∠ A P B = 90 °$ ，连接 $P D$ ，则 $P D$ 的最小值为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{21}$ C、10 D、 $\frac{72 \sqrt{61}}{61}$

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5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} - 6$ B、 $3 \sqrt{26} - 10$ C、 $4 \sqrt{6} - 4$ D、 $4 \sqrt{13} - 8$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　）

A、1 B、2 $\sqrt{2}$ ﹣1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ﹣1

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8. 如图， △ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC 的中点 D．若 AC=6，∠C=60°，则⊙O的半径长为（）

A、 $\frac{1}{3} \sqrt{7}$ B、 $\frac{2}{3} \sqrt{7}$ C、 $\frac{1}{3} \sqrt{21}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{21}$

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9. 如图，正比例函数y＝2x与反比例函数 $y = \frac{32}{25 x}$ 的图象交于A、B两点，点P在以 $C (- 2 ， 0)$ 为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{32}{25}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知：如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D ， C B$ 为 $⊙ O$ 的切线，D、B为切点， $O C$ 交 $⊙ O$ 于点E， $A E$ 的延长线交 $B C$ 于点F，连接 $A D ， B D$ ．以下结论：① $A D ∥ O C$ ；②点E为 $△ C D B$ 的内心；③ $F C = F E$ ；④ $C E \cdot F B = A B \cdot C F$ ．其中正确的只有（）

A、①② B、②③④ C、①③④ D、①②④

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ $\frac{1}{3}$ ，则AD的长是．

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12. 如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片．点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=度； $\frac{B C}{A D}$ 的值等于．

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13. 如图，AB，CD是 $⊙ O$ 的弦，且 $C D ∥ A B$ ，连接OA，OB，OC，OD，AD，BC．若 $∠ C O D + ∠ A O B = 180 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $O A = 2$ ，则AD的长是．

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 为直径，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发，在 $△ A B C$ 内运动且始终保持 $∠ C B P = ∠ B A P$ ，当 $C$ ， $P$ 两点距离最小时，动点 $P$ 的运动路径长为．

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15. 如图，在扇形AOB中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将 $\overset{⌢}{C D}$ 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. 已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为，折痕CD的长为．

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16. 如图， $A (2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ M$ ，射线 $O F$ 交 $⊙ M$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $C$ 为弧 $A B$ 的中点， $D$ 为 $E F$ 的中点．当射线 $O F$ 绕 $O$ 点旋转时， $C D$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在 $\overset{⌢}{B E}$ 上取点F，使 $\overset{⌢}{E F} = \overset{⌢}{A E}$ ，连接BF，DF．

(1)、求证：DF与半圆相切；

(2)、如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．

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18. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1)、求证： $B C ∥ P F$ ；

(2)、若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$ ， DE＝1，求AE的长度；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ D C P$ 的面积．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (a ， b) ， N .$ 对于点 $P$ 给出如下定义：将点 $P$ 向右 $(a \geq 0)$ 或向左 $(a < 0)$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $(b \geq 0)$ 或向下 $(b < 0)$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点 $P'$ ，点 $P'$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$ ，称点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．

(1)、如图，点 $M (1 ， 1) ，$ 点 $N$ 在线段 $O M$ 的延长线上，若点 $P (- 2 ， 0) ，$ 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．
①在图中画出点 $Q$ ；
②连接 $P Q ，$ 交线段 $O N$ 于点 $T .$ 求证： $N T = \frac{1}{2} O M ；$

(2)、 $⊙ O$ 的半径为1， $M$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，且 $O N = t (\frac{1}{2} < t < 1)$ ，若 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”，连接 $P Q .$ 当点 $M$ 在 $⊙ O$ 上运动时直接写出 $P Q$ 长的最大值与最小值的差（用含 $t$ 的式子表示）

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20. 一个玻璃球体近似半圆 $O ， A B$ 为直径，半圆 $O$ 上点 $C$ 处有个吊灯 $E F ，$ $E F / / A B ，$ $C O ⊥ A B ， E F$ 的中点为 $D ， O A = 4 .$

(1)、如图①， $C M$ 为一条拉线， $M$ 在 $O B$ 上， $O M = 1.6 ， D F = 0.8 ，$ 求 $C D$ 的长度．

(2)、如图②，一个玻璃镜与圆 $O$ 相切， $H$ 为切点， $M$ 为 $O B$ 上一点， $M H$ 为入射光线， $N H$ 为反射光线， $∠ O H M = ∠ O H N = 45 ° ， t a n ∠ C O H = \frac{3}{4} ，$ 求 $O N$ 的长度．

(3)、如图③， $M$ 是线段 $O B$ 上的动点， $M H$ 为入射光线， $∠ H O M = 50 ° ， H N$ 为反射光线交圆 $O$ 于点 $N ，$ 在 $M$ 从 $O$ 运动到 $B$ 的过程中，求 $N$ 点的运动路径长．

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21. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线 $A D$ 方向泻至水渠 $D E$ ，水渠 $D E$ 所在直线与水面 $P Q$ 平行；设筒车为 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与直线 $P Q$ 交于P，Q两点，与直线 $D E$ 交于B，C两点，恰有 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，连接 $A B ， A C$ ．

(1)、求证： $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、筒车的半径为 $3 m$ ， $A C = B C ， ∠ C = 30 °$ ．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到 $0.1 m$ ，参考值： $\sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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22. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，DH⊥BC于点H ．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， $P M = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：△PQM≌△CHD；

(2)、△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且 $B K = 9 - 4 \sqrt{3}$ ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；

③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ ， PM分别交BC于点E ， F ，若BE＝d ，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

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23. 操作探究题

(1)、已知 $A C$ 是半圆 $O$ 的直径， $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 是正整数，且 $n$ 不是3的倍数）是半圆 $O$ 的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当 $n = 11$ 时，可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分吗？

探究：你认为当 $n$ 满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分？说说你的理由．

(2)、如图2， $⊙ o$ 的圆周角 $∠ P M Q = (\frac{270}{7}) °$ ．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧 $\overset{⌢}{C D}$ （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

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24. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 均为格点.

(1)、【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段 $A B$ 、 $C D$ ，相交于点 $P$ 并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点 $E$ ，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.

在Rt△ABC中， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$

在Rt△CDE中，，

所以 $t a n ∠ B A C = t a n ∠ D C E$ .

所以∠ $B A C$ =∠ $D C E$ .

因为∠ $A C P +$ ∠ $D C E$ =∠ $A C B$ =90°，

所以∠ $A C P$ +∠ $B A C$ =90°，

所以∠ $A P C$ =90°，

即 $A B$ ⊥ $C D$ .

(2)、【拓展应用】如图②是以格点 $O$ 为圆心， $A B$ 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 $\overset{⌢}{B M}$ 上找出一点P，使 $\overset{⌢}{P M} = \overset{⌢}{A M}$ ，写出作法，并给出证明：

(3)、【拓展应用】如图③是以格点 $O$ 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 $A B$ 上找出一点P.使 $A M^{2}$ = $A P$ · $A B$ ，写出作法，不用证明.

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