浙教版备考2023年中考数学一轮复习73.弧长、扇形面积、圆锥、圆柱

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（）

A、96πcm² B、48πcm² C、33πcm² D、24πcm²

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2. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 $∠ O = 120 °$ 形成的扇面，若 $O A = 3 m$ ， $O B = 1.5 m$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $4.25 π m^{2}$ B、 $3.25 π m^{2}$ C、 $3 π m^{2}$ D、 $2.25 π m^{2}$

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3. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为 $4 c m$ 的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（）

A、 $4 c m$ B、 $8 c m$ C、 $12 c m$ D、 $16 c m$

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4. 一个扇形的弧长是 $10 π c m$ ，其圆心角是150°，此扇形的面积为（）

A、 $30 π c m^{2}$ B、 $60 π c m^{2}$ C、 $120 π c m^{2}$ D、 $180 π c m^{2}$

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5. 如图．将扇形 $A O B$ 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点C，连接 $A C$ ．若 $O A = 2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 如图，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $P A$ ， $P D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ 和点 $D$ ， $P D$ 的延长线与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $5 - π$ B、 $5 - \frac{π}{2}$ C、 $\frac{5}{2} - \frac{π}{2}$ D、 $\frac{5}{2} - \frac{π}{4}$

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7. 如图，圆锥底面圆的半径 $AB = 4$ ，母线长 $AC = 12$ ，则这个圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $48 π$ D、 $96 π$

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8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为（）

A、6π B、2π C、 $\frac{3}{2}$ π D、π

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9. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（）

A、圆柱的底面积为4πm² B、圆柱的侧面积为10πm² C、圆锥的母线AB长为2.25m D、圆锥的侧面积为5πm²

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，将弦 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $A D$ ，此时点 $C$ 的对应点 $D$ 落在 $A B$ 上，延长 $C D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $C E = 4$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 π - 4$ D、 $2 π - 2 \sqrt{2}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是.（结果保留 $π$ ）

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12. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于 $⊙ O$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2 $\sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积是．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，使得点 $B$ 落在边 $C D$ 上的点 $B^{'}$ 处，线段 $A B$ 扫过的面积为．

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15. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{2}$ ，以A为圆心，以AB为半径作 $\overset{⌢}{B D C}$ ﹔以BC为直径作 $\overset{⌢}{C A B}$ ．则图中阴影部分的面积是．（结果保留 $π$ ）

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16. 在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为．（结果保留π）

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 在数学实验课上，小莹将含 $30 °$ 角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边 $A B$ 旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．

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18. 如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．

(1)、判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；

(2)、若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

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19. 如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒

(1)、如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；

(2)、在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.

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20. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 $E D$ 与母线 $A D$ 长之比为 $1 ： 2$ .制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ .将扇形 $A E F$ 围成圆锥时， $A E$ ， $A F$ 恰好重合.

(1)、求这种加工材料的顶角 $∠ B A C$ 的大小

(2)、若圆锥底面圆的直径 $E D$ 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留 $π$ ）

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21. 综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为 $n °$ ，半径为l的扇形 $B O B^{'}$ ，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线 $O A$ 在展开图上对应的半径 $O A^{^{'}}$ 经过 $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的中点．

(1)、特例研究：当 $r = 3$ ， $l = 9$ 时，n= ，展开图上， $O A^{^{'}}$ 与OB的夹角为．

(2)、问题提出：求证： $n = \frac{360 r}{l}$ ．

(3)、问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为 $12 c m$ ，母线长也为 $12 c m$ ，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）

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22. 用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

(1)、填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：
甲的面积；乙的面积；丙的面积.

(2)、当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm² ，乙的面积为1400cm² ，求a和b的值；

(3)、现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放个这样的圆柱体模型。

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23. 如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点.

(1)、请直接写出点B的坐标；

(2)、若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；

(3)、如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；

(4)、如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.

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24. 如图

【问题情境】

在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 $∠ A C B = ∠ D E B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B E = A C = 3$ .

【问题探究】

小昕同学将三角板 $D E B$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转.

(1)、如图2，当点 $E$ 落在边 $A B$ 上时，延长 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，求 $B F$ 的长.

(2)、若点 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 在同一条直线上，求点 $D$ 到直线 $B C$ 的距离.

(3)、连接 $D C$ ，取 $D C$ 的中点 $G$ ，三角板 $D E B$ 由初始位置（图1），旋转到点 $C$ 、 $B$ 、 $D$ 首次在同一条直线上（如图3），求点 $G$ 所经过的路径长.

(4)、如图4， $G$ 为 $D C$ 的中点，则在旋转过程中，点 $G$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值是.

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