浙教版备考2023年中考数学一轮复习71.三角形的内切圆与内心

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数为（）

A、110° B、120° C、130° D、140°

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是对角线 $B D$ 上一点（不与点B重合），若点O是 $△ B E C$ 的内心，则 $∠ C O E$ （）

A、大小为定值，等于 $112.5 °$ B、大小不确定，可以等于 $90 °$ C、大小为定值，等于 $127.5 °$ D、大小不确定，随着点E的变化而变化

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4. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　）

A、125° B、115° C、100° D、130°

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5. 在△ABC中，AC＝BC＝2 $\sqrt{2}$ ， AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（　　）

A、2 B、4﹣2 $\sqrt{2}$ C、2﹣ $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$ ﹣2

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6. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$

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7. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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8. 如图，等边 $△ A B C$ 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 $△ A B C$ 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 $△ A B C$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）

A、30﹣4π B、 $30 \sqrt{3} - 4 π$ C、60﹣16π D、 $30 \sqrt{3} - 16 π$

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10. 如图，已知 $△ A B C$ ，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ ；②作线段 $B C$ 的垂直平分线 $F G$ ，交 $D E$ 于点O；③以O为圆心， $O B$ 长为半径作 $⊙ O$ ．
结论Ⅰ：点O是 $△ A B C$ 的内心．
结论Ⅱ： $\overset{⌢}{B G} = \overset{⌢}{A D}$ ．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对Ⅱ对 D、Ⅰ对Ⅱ不对

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

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12. 如图，直线 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 与 $⊙ O$ 分别相切于点D，E，F，若 $∠ B = α$ ， $∠ C = β$ ， $∠ D E F = γ$ ，则 $γ =$ ．（用含 $α$ 、 $β$ 的式子表示）

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13. 已知△ABC为直角三角形，它的内切圆的半径为2cm，两直角边的长分别是关于x的方程x²﹣17x+6m＝0的两个根，则△ABC的面积为（cm²）.

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14. 如图，大圆和小圆是等边三角形的外接圆和内切圆，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在小圆区域的概率为．

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15. 如图上， $Δ A B C 中， ∠ C = 9 0^{∘} ， A C = 8 ， B C = 6 ，$ O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为.

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16. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均是等边三角形，其中点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心，以 $E$ 为圆心， $D E$ 长为半径画弧交 $B C$ 于点 $B$ ，再将弧 $D B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°至弧 $E C$ 处，已知 $A B = 1$ ，则图中阴影部分面积是．

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三、作图题（共8分）

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，AD为底边BC上的高，请用尺规作图法，作 $△ A B C$ 的内切圆⊙O.（保留作图痕迹，不写作法）

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四、解答题（共6题，共58分）

18. 如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.

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19. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点E是 $△ A B C$ 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 $⊙ O$ 于点D，连接BD，BE.

(1)、求证： $D B = D E$ ；

(2)、若 $A E = 3$ ， $D F = 4$ ，求DB的长.

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20. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，∠ADB=45°．

(1)、求⊙O半径的长；

(2)、求证：BC＝BI．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，D，E，F是切点．

(1)、求证：四边形ODCE是正方形；

(2)、如果 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，求内切圆 $⊙ O$ 的半径．

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22. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E.

(1)、求证：⊙P与直线AC相切.

(2)、当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径.

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23. 已知直线y= $- \frac{3}{4} x + 3$ 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.

(1)、试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；

(2)、当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？

(3)、当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.

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