浙教版备考2023年中考数学一轮复习70.三角形的外接圆与外心

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. $Δ A B C$ 的外心在三角形的内部，则 $Δ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法判断

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2. 直角三角形的外心在（）

A、直角顶点 B、直角三角形内 C、直角三角形外 D、斜边中点

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3. 三角形的外心是三角形的（）

A、三条中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三边垂直平分线的交点 D、三条高所在直线的交点

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4. 如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）

A、（0，0） B、（2，3） C、（5，2） D、（1，4）

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5. 如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）

A、49° B、47.5° C、48° D、不能确定

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6. 如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（）

A、100° B、95° C、90° D、50°

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7. 若AM、AN分别是 $△ A B C$ 的高线和中线，AG是 $△ A B C$ 的角平分线，则（）

A、 $A M < A G < A N$ B、 $A M < A N < A G$ C、 $A M \leq A N \leq A G$ D、 $A M \leq A G \leq A N$

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8. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A、cosθ(1+cosθ) B、cosθ(1+sinθ) C、sinθ(1+sinθ) D、sinθ(1+cosθ)

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9. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）

A、O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B、O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心 C、O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D、O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心

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10. 如图，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $△ A B C$ 的外接圆相交于点 $D$ ，与 $B C$ 相交于点 $G$ ，则下列结论：① $∠ B A D = ∠ C A D$ ；②若 $∠ B A C = 60 °$ ，则 $∠ B E C = 120 °$ ；③若点 $G$ 为 $B C$ 的中点，则 $∠ B G D = 90 °$ ；④ $B D = D E$ .其中一定正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，在 $5 \times 7$ 网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是 $△ A B C$ 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除 $△ A B C$ 外把你认为外心也是O的三角形都写出来．

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12. 如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则 $△ A B C$ 外接圆的圆心是点，弧 $A C$ 的长是.

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13. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = 6$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值为.

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14. 已知 $Δ A B C$ 的三边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b^{2} + | c - 6 | + 28 = 4 \sqrt{a - 1} + 10 b$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆半径.

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15. 已知一个直角三角形的两边长分别为5cm，12cm，则此三角形的外接圆半径是 .

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16. 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图， $⊙ O$ 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别是a、b、c

(1)、求证： $\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} = 2 R$

(2)、若 $∠ A = 60^{\circ}$ ， $∠ C = 45^{\circ}$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，利用（1）的结论求AB的长和 $\sin ∠ B$ 的值

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18. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．

(1)、求CE的长；

(2)、求证：△ABC为等腰三角形．

(3)、求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

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19.

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 是 $\overset{⌢}{C E}$ 的中点，过点 $B$ 的切线与 $A C$ 的延长线交于点 $D$ .
①求证： $B D ⊥ A D$ ；
②若 $A C = 6$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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20. 如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1)、角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为 $m °$ ，将正n边形的“接近度”定义为 $| 180 - m |$ .于是 $| 180 - m |$ 越小，该正n边形就越接近于圆，
①若 $n = 3$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
②若 $n = 20$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
③当“接近度”等于.时，正n边形就成了圆.

(2)、边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为 $| \frac{d}{R} - 1 |$ .分别计算 $n = 3 ， n = 6$ 时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？

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21. 在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心.课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究.

三角形关型	直角三角形	锐角三角形	钝角三角形
垂心的位置	直角顶点	①	在三角形外部
垂心的性质	三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍.
图形	图1	图2

(1)、表格中①处应填：.

(2)、小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明.

已知：如图1，⊙O是 $R t △ A B C$ 的外接圆， $∠ B = 90 °$ ， H是 $△ A B C$ 的垂心， $O E ⊥ B C$ ，垂足为E.

求证： $A H = 2 O E$ .

(3)、如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，

O E ⊥ B C

于点E，为了证明

A H = 2 O E

.小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明.

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22. 阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m²＋n²＋1）（2m²＋n²－1）＝80，试求2m²＋n²的值.

解：设2m²＋n²＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t²－1＝80，t²＝81，

所以t＝±9，因为2m²＋n²≥0，所以2m²＋n²＝9.

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)、已知实数x、y，满足（2x²＋2y²＋3）（2x²＋2y²－3）＝27，求x²＋y²的值；

(2)、已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a²＋b²）（a²＋b²－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径.

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23. 如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°.

(1)、求 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数；

(2)、连DB，DC，求证：DB＝DC；

(3)、探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.

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24.

(1)、问题提出：如图1，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ 、 $C D$ 、 $B E$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ，若 $S_{△ D E G} = 2$ ，则 $S_{△ B C G} =$ ；

(2)、问题探究：如图2，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D = 45 °$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上一点（可与端点重合），连接 $B E$ 、 $C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，求 $▱ A B C D$ 面积的最小值；

(3)、问题解决：某湿地公园拟建一个梯形花园 $A B C D$ ，示意图如图3所示，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B = 60 \sqrt{3} m$ ， $∠ A B C = 60 °$ .管理员计划在 $△ A D E$ 区域种植水生植物，在 $△ A D E$ 区域种植甲种花卉.根据设计要求，要满足点 $E$ 在 $A B$ 上， $A E = 2 B E$ ， $∠ D E C$ 是锐角，且 $t a n ∠ D E C = 2$ ，若种植水生植物每平方米需400元，种植甲种花卉每平方米需100元，求种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为多少元？

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