浙教版备考2023年中考数学一轮复习62.正方形的性质与判定

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 若顺次连接四边形 $A B C D$ 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 一定是（）

A、互相平分 B、互相垂直 C、互相平分且相等 D、互相垂直且相等

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，添加下列一个条件，能使矩形 $A B C D$ 成为正方形的是 $($ $)$

A、 $B D = A C$ B、 $D C = A D$ C、 $∠ A O B = 60 °$ D、 $O D = C D$

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4. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 交于点O，过点O的直线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $E$ （E不与A，B重合），交 $C D$ 于点F.以点O为圆心， $O C$ 为半径的圆交直线 $E F$ 于点M，N.若 $A B = 1$ ，则图中阴影部分的面积为（）
E

A、 $\frac{π}{8} - \frac{1}{8}$ B、 $\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{2} - \frac{1}{8}$ D、 $\frac{π}{2} - \frac{1}{4}$

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6. 如图所示，面积为5的正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在数轴上，且点 $A$ 表示的数为1，若点 $E$ 在数轴上 $($ 点 $E$ 在点 $A$ 左侧 $)$ ，且 $A D = A E$ ，则点 $E$ 所表示的数为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $- \sqrt{5} - 1$ D、 $- \sqrt{5} + 1$

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7. 如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3．把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、9 C、 $9 - 4 \sqrt{2}$ D、以上都不对

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8. 如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为（　　）

A、9+4 $\sqrt{5}$ B、2 $+ \sqrt{5}$ C、3 $+ \sqrt{5}$ D、9 $+ \sqrt{5}$

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9. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）

A、1cm B、2cm C、( $\sqrt{2}$ －1)c． D、(2 $\sqrt{2}$ －1)cm

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 位于第一象限， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，顶点A，C在直线 $y = x$ 上，且点A的横坐标为1，若双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正方形 $A B C D$ 有两个交点，则k的取值范围是（　　）

A、 $0 < k < 1$ 或 $k > 6$ B、 $1 < k < 6$ C、 $1 < k < 9$ D、 $0 < k \leq 1$ 或 $k > 9$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为．

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12. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ $\frac{1}{3}$ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．

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13. 如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形 $A B C O$ 绕原点O逆时针旋转 $75 °$ ，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点 $B^{″}$ 的坐标为．

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14. 如图，以正方形 $A B C D$ 的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则点D的坐标为．

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15. 如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ $\frac{2}{5}$ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝.

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16. 如图，已知点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $\dots$ ， $A_{2020}$ 在函数 $y = x^{2}$ 位于第二象限的图象上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $\dots$ ， $B_{2020}$ 在函数 $y = x^{2}$ 位于第一象限的图象上，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $\dots$ ， $C_{2020}$ 在 $y$ 轴的正半轴上，若四边形 $O A_{1} C_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} A_{2} C_{2} B_{2}$ ， $\dots$ ， $C_{2021} A_{2022} C_{2022} B_{2022}$ 都是正方形，则正方形 $C_{2021} A_{2022} C_{2022} B_{2022}$ 的对角线长为．

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三、作图题（共8分）

17. 如图为 $4 \times 4$ 方格，每个小正方形的边长都为1．

(1)、图1中阴影正方形的面积为，边长为；

(2)、请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．要求所画正方形满足以下条件：①正方形的边长为无理数 ②正方形的四个顶点均在网格格点处．

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四、解答题（共7题，共58分

18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ， $O E = O A$ .
求证：四边形 $A E C F$ 是正方形.

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19. 如图，边长为 $4 a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $C D$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 上一点，且 $B N = \frac{3}{4} B C$ ，求证： $A M ⊥ M N$

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20. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”.

(1)、若已知P（-2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（-2，3）＝；

(2)、若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；

(3)、若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积.

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21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB.

(1)、求证：四边形ABCD是正方形；

(2)、若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s₁ ，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s₂ ，且s₁＝s₂.当AB＝2时，求AH的长.

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22. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊的四边形？说明你的理由；

(3)、若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

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23. 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A D E B$ 、 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $R t △ A B C$ 的三边为一边的正方形．延长 $I H$ 和 $F G$ ，交于点 $L$ ，连接 $L C$ 并延长交 $D E$ 于点 $J$ ，交 $A B$ 于点 $K$ ，延长 $D A$ 交 $I L$ 于点 $M$ ．

(1)、证明： $A D = L C$ ；

(2)、证明：正方形 $A C H I$ 的面积等于四边形 $A C L M$ 的面积；

(3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．

(4)、【迁移拓展】
如图2，四边形 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $△ A B C$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $A B$ 下方是否存在平行四边形 $A D E B$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $A C H I$ 、 $B F G C$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $A D E B$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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24. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)、问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP= CQ；

(2)、变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP =PQ，∠APQ =∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；

(3)、解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6， $CQ = 2 \sqrt{2}$ ，求正方形ADBC的边长．

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