浙教版备考2023年中考数学一轮复习61.菱形的性质与判定

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列关于菱形的说法中正确的是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、菱形的对角线互相垂直且平分 C、菱形的对角线相等且互相平分 D、对角线互相平分的四边形是菱形

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2. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）

A、对边平行且相等 B、对角线互相平分 C、对角线相等 D、对角线互相垂直

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3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）

A、AB＝AD B、AC⊥BD C、AC＝BD D、∠DAC＝∠BAC

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4. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C = 6 c m ， B D = 8 c m$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、 $14 c m$ B、 $16 c m$ C、 $18 c m$ D、 $20 c m$

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5. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A、若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B、若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C、若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 对角线交点与坐标原点 $O$ 重合，点 $A (- 2 ， 5)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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7. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 ， ∠ A B C = 60 °$ ， M是对角线BD上的一个动点， $C F = B F$ ，则 $M A + M F$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $A C ， B D$ 相交于点O，E是 $O A$ 的中点，连接 $B E$ 并延长交 $A D$ 于点F．已知 $B E = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 $\sqrt{3}$ ，则CD的长为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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10. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ ，则图象最低点E的坐标为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， 2)$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 4$ ， $B D = 5$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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12. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的边长为．

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13. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF= $\sqrt{6}$ ，则BD的长为（结果保留很号）.

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， A B = a$ ，点E、F是对角线 $B D$ 上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接 $A E 、 E C 、 A F 、 C F ，$ 若四边形 $A E C F$ 是菱形，且与菱形 $A B C D$ 是相似菱形，那么菱形 $A E C F$ 的边长是．（用a的代数式表示）．

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15. 如图，将一个边长为 $20 c m$ 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形 $A B C D$ ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到 $36 c m$ 时才会断裂.若 $∠ B A D = 60 °$ ，则橡皮筋 $A C$ 断裂（填“会”或“不会”，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）.

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16. 如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 $\sqrt{5}$ ﹣2 $\sqrt{3}$ ．其中正确的是．（请填写序号）

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三、作图题（共10分）

17. 如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形.请按要求作图，不需证明.

(1)、在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；

(2)、在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形.

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四、解答题（共7题，共58分）

18. 【阅读材料】

老师的问题：

已知：如图， $A E ∥ B F$ ．

求作：菱形 $A B C D$ ，使点C，D分别在 $B F ， A E$ 上．

小明的作法：

（1）以A为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $A E$ 于点D；

（2）以B为圆心， $A B$ 长为半经画弧，交 $B F$ 于点C；

（3）连接 $C D$ ．

四边形 $A B C D$ 就是所求作的菱形，

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形 $A B C D$ 是菱形．

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19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

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20. 如图， $△ A B C$ 中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作 $C F ∥ A B$ ，交DE的延长线于点F．

(1)、求证： $A D = C F$ ；

(2)、连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

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21. 如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点G是边AD上一动点，连接BG，若点H为BG的中点，连接AH，连接EH并延长交边CD于点F，过点A作 $A P ⊥ B G$ ，垂足为点M，交EF于点P．

(1)、求证： $A H = H G$ ；

(2)、连接BP、PG，若 $B P ⊥ P G$ ，请判断四边形AHPG是什么特殊四边形，并证明．

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22. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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23. 如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以 $2 \sqrt{3}$ cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

(1)、当点P在AB上运动时，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；

(2)、若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

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24. 菱形 $A B C D$ 的边长为 $30$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 中点， $M$ 是线段 $O C$ 上任一点，连接 $D M$ ，作 $∠ D M N = 120 °$ ，边 $M N$ 与直线 $A B$ 相交于点 $N$ ．

小南和小浦观察以上问题时，猜想 $D M = M N$ ，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究．

(1)、【特例发现】
小南发现：当点 $M$ 与点重合时， $D M$ 与 $M N$ 的长度相等，为；

(2)、【探究证明】
小浦认为当 $N$ 在线段 $A B$ 上时，均有“ $D M = M N$ ”，请帮助完成证明．

(3)、【拓展运用】
①连结 $D N$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，求证： $∠ A D E + ∠ M D C$ 为定值．
②当 $M N^{2} + D E^{2} = A E^{2}$ 时， $S_{△ A D E} =$ ▲ ．

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