浙教版备考2023年中考数学一轮复习60.矩形的性质与判定

试卷更新日期：2023-01-01 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A、测量两条对角线是否相等 B、度量两个角是否是90° C、测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D、测量两组对边是否分别相等

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2. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知 $∠ A B C = 36 °$ ，则 $∠ D_{1} A D =$ （）

A、48° B、66° C、72° D、78°

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3. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A、27° B、53° C、57° D、63°

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4. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ $\sqrt{3}$ ．则四边形EFGH的周长为（）

A、 $4 (2 + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)$ C、 $8 (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ D、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2)$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F C$ 是两个矩形，点B在 $E F$ 边上，若 $A B = 2 ， A C = 3$ ，则矩形 $A E F C$ 的面积为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、6

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6. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，分别以 $A$ 点， $B$ 点为圆心以大于 $\frac{1}{2} AB$ 为半径画弧，两弧交于 $E$ ， $F$ ，连接 $EF$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ ，以 $C$ 为圆心， $CD$ 长为半径作弧，交 $AC$ 于 $G$ 点，则 $CG$ ： $AB =$ （）

A、1： $\sqrt{5}$ B、1：2 C、1： $\sqrt{3}$ D、1： $\sqrt{2}$

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7. 如图，矩形A₁B₁C₁D₁在矩形ABCD的内部，且B₁C₁⊥BC，点B₁ ， D₁在对角线BD的异侧．连结BB₁ ， DB₁ ， BD₁ ， DD₁ ，若矩形ABCD∼矩形A₁B₁C₁D₁ ，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形B₁BD₁D的面积（）

A、矩形ABCD的面积 B、∠B₁BD₁的度数 C、四边形B₁BD₁D的周长 D、BB₁的长度

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8. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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10. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\sqrt{13}$ - $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{13}$ -2

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知 $R t △ A B C$ 两边长为5和12，则其斜边上的中线为.

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD.若 $C E = \frac{1}{3} A E = 1$ ，则CD＝.

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13. 在矩形 $A B C D$ 中，作 $∠ B$ 的平分线交直线 $A D$ 于点E，则 $∠ B E D$ 是度．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = \sqrt{2} ， A D = 3$ ，点E为边 $B C$ 上一点，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，点C的对应点为点F，过点F作 $D E$ 的平行线交 $A D$ 于点G，交直线 $B C$ 于点H．若点G是边 $A D$ 的三等分点，则 $F G$ 的长是．

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15. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．将两纸片按如图所示叠放，使点D与点G重合，且重叠部分为平行四边形．当两张纸片交叉所成的角记为α，当α=30°时，BM=；当α最小时，重叠部分的面积为．

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16. 如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线l上的点A在圆心O的正下方，筷子与 $⊙ O$ 右下方交于B，C两点，线段 $B D$ ， $C E$ 分别垂直l于点D，E.测得 $A D = 3 D E = 15 c m$ ， $C E = \frac{3}{2} B D = 15 c m$ ，则圆盘 $⊙ O$ 的半径为 $c m$ .

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．作出点D，使四边形 $A B C D$ 是矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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18. 如图， $D E$ ， $D F$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $∠ A C B = 90 °$ ，连接 $C D$ ， $E F$ ，求证： $C D = E F$ ．

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，且CF⊥AB．
求证：四边形CDEF是矩形．

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20. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $O A$ ， $O C$ 的中点.

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、设 $\frac{A C}{B D} = k$ ，当 $k$ 为何值时，四边形 $D E B F$ 是矩形？请说明理由.

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21. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.

(1)、求证： $△ D A F ≌ △ E C F$ ；

(2)、若 $∠ F C E = 40 °$ ，求 $∠ C A B$ 的度数.

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22. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 $A B$ ，用绳子拉直 $A D$ 后系在树干 $E F$ 上的点 $E$ 处，使得 $A$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，通过调节点 $E$ 的高度可控制“天幕”的开合， $A C = A D = 2$ m， $B F = 3$ m．

（参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.90$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

(1)、天晴时打开“天幕”，若 $∠ α = 65 °$ ，求遮阳宽度 $C D$ （结果精确到0.1m）；

(2)、下雨时收拢“天幕”， $∠ α$ 从65°减少到45°，求点 $E$ 下降的高度（结果精确到0.1m）．

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23. 如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D移动．当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ．

(1)、当t=2时，求PQ的长；

(2)、当PQ=10cm时，求t的值．

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ， $A D$ 平分 $△ A B C$ 的外角 $∠ B A M$ ， $A D ⊥ B D$ 于点D，过D点作 $D E$ 平行 $B C$ 交 $A M$ 于点E.点P在线段 $A B$ 上，点Q在直线 $A C$ 上，且 $C Q = 2 B P = 2 t$ ，连接 $P Q$ ，作P点关于直线 $D E$ 的对称点 $P^{'}$ ，连接 $P P^{'} ， P^{'} Q$ .

(1)、当P在 $A B$ 中点时，t =；连接 $D P$ ，则此时 $D P$ 与 $E C$ 位置关系为

(2)、①求线段 $A D$ 的长：
②将线段 $A D$ 绕着平面上某个点旋转 $180 °$ 后，使 $A D$ 的两个对应点 $A ′$ 、 $D^{'}$ 落在 $R t △ A B C$ 的边上，求点A到对应点 $A ′$ 的距离；

(3)、如图，当 $△ P P^{'} Q$ 的一边与 $△ A B D$ 的 $A D$ 或 $B D$ 边平行时，求所有满足条件的t的值.

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