浙教版备考2023年中考数学一轮复习59.三角形的中位线定理

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则 $∠ C E D$ 度数是（）

A、70° B、60° C、30° D、20°

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2. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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3. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $E$ ， $F$ 分别是 $B D$ ， $B C$ 的中点，连接EF．若 $A D = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 是 $D A$ 中点， $F$ 是对角线 $A C$ 上一点，且 $∠ D E F = 45 °$ ，则 $A F ： F C$ 的值是（）

A、3 B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的中点，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、9 B、12 C、14 D、16

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6. 如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S₁ ， △EBD的面积为S₂ ．则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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7. 如图，点I为的 $△ A B C$ 内心，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于点D，点E为弦 $A C$ 的中点，连接 $C D$ ， $E I$ ， $I C$ ，当 $A I = 2 C D$ ， $I C = 6$ ， $I D = 5$ 时， $I E$ 的长为（）

A、5 B、4.5 C、4 D、3.5

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8. 如图，G为 $△ A B C$ 的重心，点D在 $C B$ 延长线上，且 $B D = \frac{1}{2} B C$ ，过D、G的直线交 $A C$ 于点E，则 $\frac{A E}{A C}$ 为（　　）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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9. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与BCFG，点M，N，P，Q分别是DE，FG，弧AC，弧BC的中点.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、 $\frac{90}{7}$ C、13 D、16

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，延长 $C B$ 至点 $E$ ，使 $B E = B C$ ，连接 $D E$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，连接 $B F .$ 若 $A C = 16$ ， $B C = 12$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、5 B、4 C、6 D、8

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为米．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，若 $D E = 1$ ，则 $F G =$ ．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则EF= ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A F = \frac{1}{4} A C$ ，连接 $E F$ ．若 $A C = 10$ ，则 $E F =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点D，E分别是 $A B ， A C$ 边上的中点，连接 $C D ， D E$ .如果 $A B = 5 m$ ， $B C = 3 m$ ，那么 $C D + D E$ 的长是m.

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16. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片 $A B C$ ，第1次折叠使点 $B$ 落在 $B C$ 边上的点 $B^{'}$ 处，折痕 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ；第2次折叠使点 $A$ 落在点 $D$ 处，折痕 $M N$ 交 $A B^{'}$ 于点 $P$ .若 $B C = 12$ ，则 $M P + M N =$ .

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，是由 $5 \times 6$ 个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图.

(1)、在图中画线段DE，使线段 $D E / / A C$ 且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ；

(2)、在图中画线段DE，使线段 $D E / / A C$ 且 $D E = \frac{4}{5} A C$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点．求 $D E$ 的长．

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19. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 $△ A B C$ 的重心．求证： $A D = 3 G D$ ．

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20. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

(1)、求证：AF与DE互相平分；

(2)、当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

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21. 如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

(1)、当BC=6时，求线段OD的长；

(2)、在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

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22. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD．

(1)、若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长；

(2)、EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论．

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23. 在 $Δ A B C$ 中， $A C > B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为线段 $A C$ 上的一点．

(1)、如图1，若 $A E = \frac{1}{4} A C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $A C = 4$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，若 $A E = B C$ 且 $F$ 为 $E C$ 中点，求证： $∠ A F D = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

(3)、若 $2 ∠ A E D - ∠ C = 180 °$ ，试探究 $A E$ 、 $B C$ 、 $A C$ 的数量关系，并证明．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，记 $△ C O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S_{2}$ .

(1)、问题解决：如图①，若AB//CD，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{O C \cdot O D}{O A \cdot O B}$

(2)、探索推广：如图②，若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)、拓展应用：如图③，在 $O A$ 上取一点E，使 $O E = O C$ ，过点E作 $E F ∥ C D$ 交 $O D$ 于点F，点H为 $A B$ 的中点， $O H$ 交 $E F$ 于点G，且 $O G = 2 G H$ ，若 $\frac{O E}{O A} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 值.

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