浙教版备考2023年中考数学一轮复习56.三角形的综合

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、单选题（每题2分，共20分）

1. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 12$ 厘米， $B C = 9$ 厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等时，v的值为（）

A、2.5 B、3 C、2.25或3 D、1或5

查看试题解析
2. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为 $S_{0}$ ， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 2 S_{0}$ ，则线段OP长的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
3. 如图，M，A，N是直线l上的三点，AM=3 ， AN=5， P是直线l外一点，且∠PAN＝60°， AP=1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A、直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B、直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C、等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D、等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形

查看试题解析
4. 如图， $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $△ ABC$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B ＝ 6 cm$ ，点M从点C出发沿CB方向以 $1 cm/s$ 的速度匀速运动到点B ，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 $2 cm/s$ 的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作 $M P / / C A$ 交AB于点P ，连接MN ， NP ，作 $△ M N P$ 关于直线MP对称的 $△ M N^{'} P$ ，设运动时间为ts ， $△ M N^{'} P$ 与 $△ B M P$ 重叠部分的面积为 $S {cm}^{2}$ ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S_四_边_形AOBO $= 6 + 3 \sqrt{3}$ ；⑤S_△AOC+S_△AOB= $= 6 + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ．其中正确的结论是（　　）

A、①②③⑤ B、①②③④ C、①②③④⑤ D、①②③

查看试题解析
7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是 $∠ C A B$ 的平分线， $C N$ 是外角 $∠ G C B$ 的平分线， $B E ⊥ A M$ 于点E， $B D ⊥ C N$ 于点D，连接 $D E$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $4$

查看试题解析
8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一动点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = ∠ B = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E .$ 下列结论：
$① ∠ D E C = ∠ B D A$ ；

$②$ 若 $A D = D E$ ，则 $B D = C E$ ；

$③$ 当 $D E ⊥ A C$ 时，则 $D$ 为 $B C$ 中点；

$④$ 当 $△ A D E$ 为等腰三角形时， $∠ B A D = 40 °$ ．

其中正确的有个．（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
9. 如图， $△$ ABC的三条边相等，三个内角也相等，且 $A D = B F = C E$ ，连接DE，DF，EF，CD与BE交于H点，以下结论：① $△ A D E ≌ △ B F D$ ；② $△$ BDE与 $△$ CFD的面积相等；③ $B E = C D$ ；④ $∠ E H C = 60 °$ ．其中正确的是（）

A、①②③④ B、①② C、②③④ D、③④

查看试题解析
10. 在锐角 $△ A B C$ 中，分别以AB和AC为斜边向 $△ A B C$ 的外侧作等腰 $R t △ A B M$ 和等腰 $R t △ A C N$ ，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN ．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：① $M D = F E$ ，② $∠ D M F = ∠ E F N$ ，③ $F M ⊥ F N$ ，④ $S_{△ C E F} = \frac{1}{2} S_{四边形 A B F E}$ ，其中结论正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析

二、填空题（每题2分，共12分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿 $A \to B \to C$ 运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当 $t =$ ， $△ A P E$ 的面积等于6．

查看试题解析
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．

查看试题解析
13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 2$ ．若点P是 $△ A B C$ 内一点，则 $P A + P B + P C$ 的最小值为．

查看试题解析
14. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， D是 $B C$ 的中点，F是直线 $A B$ 上一动点，线段 $D F$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $D E$ ，当点F运动时， $C E$ 的最小值是．

查看试题解析
15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A B = 12$ ，点P在 $△ A B C$ 的内部（不包括边上），且 $△ A B P$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积的一半，设点D为 $△ A B C$ 的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为．

查看试题解析
16. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， A B = 10$ ，动点D从点A出发，沿线段 $A B$ 以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作 $D F ⊥ A B$ 交 $B C$ 所在的直线于点F，连结 $A F ， C D$ ，设点D运动时间为t秒，当 $△ A B F$ 是等腰三角形时，则t=秒.

查看试题解析

三、综合题（共10题，共88分）

17. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 $\sqrt{2}$ cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)、如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)、如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

查看试题解析
18. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ 于点D，在DA上取点E，使 $D E = D C$ ，连接BE、CE．

(1)、直接写出CE与AB的位置关系；

(2)、如图2，将 $△ B E D$ 绕点D旋转，得到 $△ B^{'} E^{'} D$ （点 $B^{'}$ ， $E^{'}$ 分别与点B，E对应），连接 $C E^{'} 、 A B^{'}$ ，在 $△ B E D$ 旋转的过程中 $C E^{'}$ 与 $A B^{'}$ 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)、如图3，当 $△ B E D$ 绕点D顺时针旋转30°时，射线 $C E^{'}$ 与AD、 $A B^{'}$ 分别交于点G、F，若 $C G = F G ， D C = \sqrt{3}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

查看试题解析
19. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)、如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 $\sqrt{2}$ ， ED＝12，求EM的长．

查看试题解析
20. 如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0， $\sqrt{3}$ ）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1)、填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

(2)、当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
21. 【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)、小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 $△$ ADE≌ $△$ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

(2)、【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

(3)、【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ $\sqrt{6}$ ， AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

查看试题解析
22. 如图

(1)、如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为；

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点O顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图，若 $A B = 8$ ，点C是线段AB外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 ▲ ；
②若以BC为斜边作 $R t △ B C D$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $∠ C D B = 90 °$ ，连接AD，当 $∠ C B D = ∠ D A B = 30 °$ 时，直接写出AD的值．

查看试题解析
23. 综合与实践

(1)、问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 上一点， $∠ A D C = ∠ A C B$ ．求证 $∠ A C D = ∠ A B C$ ．

独立思考：

请解答王老师提出的问题．

(2)、实践探究：
在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长 $C A$ 至点E，使 $C E = B D$ ， $B E$ 与 $C D$ 的延长线相交于点F，点G，H分别在 $B F ， B C$ 上， $B G = C D$ ， $∠ B G H = ∠ B C F$ ．在图中找出与 $B H$ 相等的线段，并证明．”

(3)、问题解决：
数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，若给出 $△ A B C$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，求 $B H$ 的长．”

查看试题解析
24.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

查看试题解析
25.

(1)、【情境再现】
甲、乙两个含 $45 °$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $A G ， B H$ ，如图③所示， $A B$ 交 $H O$ 于E， $A C$ 交 $O G$ 于F，通过证明 $△ O B E ≌ △ O A F$ ，可得 $O E = O F$ ．
请你证明： $A G = B H$ ．

(2)、【迁移应用】
延长 $G A$ 分别交 $H O ， H B$ 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 $D G$ 与 $B H$ 的位置关系．

(3)、【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含 $30 °$ 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 $H B ， A G$ ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 $A G$ 与 $B H$ 的数量关系．

查看试题解析
26. 已知 $∠ M O N = α$ ，点A，B分别在射线 $O M ， O N$ 上运动， $A B = 6$ .

(1)、如图①，若 $α = 90 °$ ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， D^{'}$ ，连接 $O D ， O D^{'}$ .判断OD与 $O D^{'}$ 有什么数量关系?证明你的结论：

(2)、如图②，若 $α = 60 °$ ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

(3)、如图③，若 $α = 45 °$ ，当点A，B运动到什么位置时， $△ A O B$ 的面积最大?请说明理由，并求出 $△ A O B$ 面积的最大值.

查看试题解析