浙教版备考2023年中考数学一轮复习55.勾股定理及其应用

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是AB的中点，延长CB至点E，使 $B E = B C$ ，连接DE，F为DE中点，连接BF.若 $A C = 16$ ， $B C = 12$ ，则BF的长为（）

A、5 B、4 C、6 D、8

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2. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）

A、 $\frac{13}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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3. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 6$ ， $B C ＝ 8$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点B顺时针旋转90°得到 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ .在此旋转过程中 $R t △ A B C$ 所扫过的面积为（）

A、25π+24 B、5π+24 C、25π D、5π

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4. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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6. 如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上，连结 $A E .$ 设 $A B = a$ ， $B C = b$ ，则 $△ A C E$ 的面积可以表示为（）

A、 $a^{2} - b^{2}$ B、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

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7. 如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A、（2 $\sqrt{2}$ ）⁵ B、（2 $\sqrt{2}$ ）⁶ C、（ $\sqrt{2}$ ）⁵ D、（ $\sqrt{2}$ ）⁶

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8. 有一直角三角形纸片，∠C＝90°BC＝6，AC＝8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 $= 10$ 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

A、10尺 B、11尺 C、12尺 D、13尺

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10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 的最小值”，其中 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， $\sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{(4 - x)^{2} + 4}$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $P$ 是 $B C$ 边上除 $B$ ， $C$ 点外的任意一点，则 $A P^{2} + P B \cdot P C =$ ．

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13. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．

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14. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.

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15. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 $A E =$ .

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16. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 在 $3 \times 3$ 的网格中，设每一个小方格的边长为1个单位，画出4个不同的正方形 $($ 用阴影部分表示 $)$ ，所画正方形的顶点都在方格的顶点上，且面积均小于9，并写出相应正方形的边长.

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18. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)

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19. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = m - n$ ， $b = 2 \sqrt{m n}$ ， $c = m + n$ ，且 $m > n > 0 . △ A B C$ 是直角三角形吗？请证明你的判断.

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20. 阅读与应用：

下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．

2022年9月22日天气：晴

无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．

回顾梳理：要在数轴上找到表示 $\pm \sqrt{2}$ 的点，关键是在数轴上构造线段 $O A = O A^{'} = \sqrt{2}$ ．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A， $A^{'}$ ，则点A对应的数为 $\sqrt{2}$ ，点 $A^{'}$ 对应的数为 $- \sqrt{2}$ ．类似地，我们可以在数轴上找到表示 $\pm \sqrt{5}$ ， $\pm \sqrt{10}$ ， …的点．

拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段 $O B$ 与 $O B^{^{'}}$ ，其中O仍为原点，点B， $B^{'}$ 分别在原点的右侧、左侧，可由线段 $O B$ 与 $O B^{^{'}}$ 的长得到点B， $B^{'}$ 所表示的无理数！

按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：

(1)、“拓展思考”中，线段

O B

的长为，

O B^{^{'}}

的长为；点B表示的数为，点

B^{'}

表示的数为．

(2)、请从A，B两题中任选一题作答．我选择题．

A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示 $\pm \sqrt{10}$ 的点M，N；

B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示 $2 - \sqrt{10}$ 的点M．

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21. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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22. 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A D E B$ 、 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $R t △ A B C$ 的三边为一边的正方形．延长 $I H$ 和 $F G$ ，交于点 $L$ ，连接 $L C$ 并延长交 $D E$ 于点 $J$ ，交 $A B$ 于点 $K$ ，延长 $D A$ 交 $I L$ 于点 $M$ ．

(1)、证明： $A D = L C$ ；

(2)、证明：正方形 $A C H I$ 的面积等于四边形 $A C L M$ 的面积；

(3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．

(4)、【迁移拓展】
如图2，四边形 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $△ A B C$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $A B$ 下方是否存在平行四边形 $A D E B$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $A C H I$ 、 $B F G C$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $A D E B$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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23. 综合与实践

(1)、问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

(2)、问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当 $∠ B = ∠ M D B$ 时，求线段CN的长；

(3)、如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

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24. 将矩形纸片 $A B C O$ 放在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ．现绕点O顺时针旋转矩形纸片 $A B C O$ ，得到新的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，其中A，B，C的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ．当直线 $B C$ 与直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 有交点时，设交点为D．

(1)、在旋转过程中，判断线段 $C D$ 和 $C^{'} D$ 的数量关系，并以图①为例说明理由；

(2)、在旋转过程中，当点 $A^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时（如图②），直接写出点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、在旋转过程中，若线段 $A^{'} O$ 恰好过线段 $B C$ 中点E时（如图③），求线段 $C D$ 的长；

(4)、在旋转过程中，当线段 $A^{'} O$ 与线段 $B C$ 的交点M恰好是线段 $B D$ 中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．

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