浙教版备考2023年中考数学一轮复习54.直角三角形的性质和判定

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，则下列结论中正确的是（）

A、AD=2CD B、CD=2BD C、AC=2BC D、AB=4BD

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2. 在△ABC中，BC＝ $\sqrt{3}$ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ＋1 C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{3}$ ＋1

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3. 如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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4. 如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、4+2 $\sqrt{3}$

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5. 如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（）

A、4 B、2 C、4 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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6. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 $\frac{B G}{B E}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、4

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7. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 $\sqrt{3}$ ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 3$ C、 $2 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3} - 3$

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8. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为边 $A C$ 上一点 $($ 不与端点重合 $)$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，作 $E H ⊥ A D$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F / / A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F .$ 若 $A G = 3$ ，则阴影部分的面积为（）

A、12 B、12.5 C、13 D、13.5

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9. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（）

A、 $(2 - 2 \sqrt{3} ， 3)$ B、 $(0 ， 1 + 2 \sqrt{3})$ C、 $(2 - \sqrt{3} ， 3)$ D、 $(2 - 2 \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3})$

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10. 如图1是第七届国际数学教育大会（ $I C M E$ ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $O C = \sqrt{5}$ ， $B C = 1$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，则 $O A$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

（1）分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．
已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为.

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12. 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 $\sqrt{2}$ ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．

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13. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 旋转得到 $△ A D E$ ，若 $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A B = 1$ ，则 $A E =$ ．

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14. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $2 \sqrt{10}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上， $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，则 $\frac{A E}{A C} =$ ．

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16. 《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线 $l_{1} ： y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $l_{2} ： y = x$ 于点 $O_{1}$ ，过点 $O_{1}$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，以此类推，令 $O A = a_{1}$ ， $O_{1} A_{1} = a_{2}$ ， $⋯$ ， $O_{n - 1} A_{n - 1} = a_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} \leq S$ 对任意大于1的整数 $n$ 恒成立，则 $S$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图.

(1)、在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长.

(2)、在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD.

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18. 如图，点 $E$ ， $F$ 在 $C D$ 上，且 $∠ A E C = ∠ B F D = 90 °$ ， $A C = B D$ ， $C F = D E$ ．

(1)、求证： $Rt Δ AEC ≅ Rt Δ BFD$ ．

(2)、连结 $A F$ ，若 $A C = 5$ ， $A E = 3$ ， $C F = 1$ ，求 $A F$ 的长度．

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19. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\frac{1}{2}$ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1)、若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

(2)、若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

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20. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)、问题发现：
如图1，若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： $B D = C E$ ；
图1

(2)、解决问题：如图2，若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点A，D，E在同一条直线上，CM为 $△ D C E$ 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2

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21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝ $\sqrt{3}$ ， ∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D.

(1)、当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；

(2)、当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；

(3)、记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝ $\frac{8}{x}$ （x＞0）的图象上.

(1)、求m的值和点D的坐标；

(2)、求DF所在直线的表达式；

(3)、若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S_△EFG.

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23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

(1)、我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $(a + b + c) d = a d + b d + c d$

公式②： $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

公式③： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

公式④： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式；

(2)、《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

(3)、如图6，在等腰直角三角形ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ， D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G，作 $E H ⊥ A D$ F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为 $S_{1}$ ， △ABD与△AEH的面积之和为 $S_{2}$ .

①若E为边AC的中点，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为 ▲ ；

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

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24. 如图：

(1)、【问题初探】
如图1， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为一边作 $Δ A D E$ ，使 $∠ D A E = 90 °$ ， $A D = A E$ ，连接 $B E$ ， $B E$ 与 $C D$ 的数量关系，位置关系．

(2)、【类比再探】
如图2， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点M是 $A B$ 上一点，点D是 $B C$ 上一点，连接 $M D$ ，以 $M D$ 为一边作 $Δ M D E$ ，使 $∠ D M E = 90 °$ ， $M D = M E$ ，连接 $B E$ ，求 $∠ E B D$ 的度数．

(3)、【方法迁移】
如图3， $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $B C = 6$ ，点M是 $A B$ 中点，点D是 $B C$ 上一点且 $B D = 1$ ，连接 $M D$ ，以 $M D$ 为一边作 $Δ M D E$ ，使 $∠ D M E = 90 °$ ， $M D = \sqrt{3} M E$ ，连接 $B E$ ，求 $B E$ 的长．

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