浙教版备考2023年中考数学一轮复习53.等边三角形的性质与判定

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A、是轴对称图形 B、对称轴的交点是其重心 C、是中心对称图形 D、绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 的中点， $E$ 是边 $B C$ 上一点，若 $D E$ 平分 $△ A B C$ 的周长，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，直线 $a ∥ b$ ，等边三角形 $A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $b$ 上， $∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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4. 如图，等边 $△ A B C$ 、等边 $△ D E F$ 的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合， $D E$ 在 $A B$ 上， $D F$ 在 $A C$ 上， $△ D E F$ 沿 $A B$ 向右平移，当点D到达点B时停止.在此过程中，设 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ 重合部分的面积为y， $△ D E F$ 移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 上的点， $B P = A Q = 3$ ， $Q D = 2$ ，在 $B D$ 上有一动点 $E$ ，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 如图，P是等边 $△ A B C$ 的边AC的中点，E为 $B C$ 边延长线上一点， $P E = P B$ ，则 $∠ C P E$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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7. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，过 $A B$ 边上的点 $D$ 作 $A B$ 的垂线交 $B C$ 于点 $E$ ，作 $E F ⊥ D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，作 $F G ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $G$ ， $F G$ ， $D E$ 相交于点 $M .$ 若 $D M = M E$ ， $G E = 3$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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8. 一辆汽车沿A地北偏东50方向行驶6千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶6千米到达C地，则此时A、C两地相距（）千米。

A、12 B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、3

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9. 如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ ，则AB的值为（）

A、2 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10. 如图，等边 $△ ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $AC$ 、 $BC$ 边上的点， $AD = CE$ ，连接 $AE$ 、 $BD$ 交于点 $F$ ， $∠ CBD$ 、 $∠ AEC$ 的平分线交于 $AC$ 边上的点 $G$ ， $BG$ 与 $AE$ 交于点 $H$ ，连接 $FG .$ 下列说法： $① △ ABD$ ≌ $△ CAE$ ； $② ∠ BGE = 30 °$ ； $③ ∠ ABG = ∠ BGF$ ； $④ AB = AH + FG$ ；其中正确的说法有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．

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12. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ，点E为高 $A D$ 上的一动点，以 $B E$ 为边作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F$ ， $C F$ ，则 $∠ B C F =$ ， $F B + F D$ 的最小值为．

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13. 跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形 $A B C$ 和等边三角形 $D E F$ 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若 $A B = 27$ 厘米，则这个正六边形的周长为厘米．

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14. 等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．

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15. 如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C₁的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为 $\frac{1}{2}$ 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 $\frac{1}{4}$ 的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为 $\frac{1}{8}$ 、 $\frac{1}{16}$ 、 $\frac{1}{32}$ …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为C_n ，则C_n-C_n-1＝．

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16. 如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段 $B O^{'}$ ，连接 $A O^{'}$ ，下列结论：① $△ A B O^{'}$ 可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的；②点O与 $O^{'}$ 的距离为5；③∠AOB＝150°；④S_{四边形AOBO′}＝6+4 $\sqrt{2}$ ；⑤ $S_{△ A O C} + S_{△ A O B}$ ＝6+ $\frac{9}{4} \sqrt{3}$ ．其中正确的结论有．（填正确序号）

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，△ $A B C$ 是等边三角形， $D 、 E$ 在直线 $B C$ 上， $D B = E C$ .

求证： $∠ D = ∠ E$ .

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18. 如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.

(1)、求证 $△ C E D ∽ △ B A D$ ；

(2)、当 $D C = 2 A D$ 时，求CE的长.

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19. 如图，点D在等边 $△ A B C$ 的外部，E为 $B C$ 边上的一点， $A D = C D$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点F， $A B ∥ D E$ ．

(1)、判断 $△ C E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $B C = 10$ ， $C F = 4$ ，求 $D E$ 的长．

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20. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)、判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)、延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

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21. $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形．

(1)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有 $P A + P B = P C$ （或 $P A + P C = P B$ ）成立；请证明．

(2)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 6 c m$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动．以 $P A$ 为一边作 $∠ A P Q = 120 °$ ，另一边 $P Q$ 与折线 $A C - C B$ 相交于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边作菱形 $P Q M N$ ，点 $N$ 在线段 $P B$ 上．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ，菱形 $P Q M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $y (c m^{2})$ ．

(1)、当点 $Q$ 在边 $A C$ 上时， $P Q$ 的长为 $c m$ ；（用含 $x$ 的代数式表示）

(2)、当点 $M$ 落在边 $B C$ 上时，求 $x$ 的值；

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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23. 如图1，点P，Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，都以1 cm/s的速度分别向B，C运动．

(1)、连接AQ，CP交于点M，则P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；

(2)、何时△PBQ是直角三角形？

(3)、如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线 AB，BC上运动，直线AQ，CP交于点M，则∠CMQ的度数为．

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24. 解答题

(1)、如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D$ 、 $C E$ ，求证， $B D = C E$ ；

(2)、[类比探究]
如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ，连接 $B D ， C E$ ．求 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、[拓展提升]
如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ， $\frac{A C}{A B} = \frac{A E}{A D} = 2$ ．连接 $B D 、 C E$ ，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，连接 $A F$ ．若 $∠ A F C$ 恰好等于 $90 °$ ，请直接写出此时 $A F ， B F ， C F$ 之间的数量关系．

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