浙教版备考2023年中考数学一轮复习48.作图——三角形

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、作图-三角形

1. 下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）

A、AB=3，BC=4，AC=8 B、∠C=90°，AB=6 C、AB=3，BC=3，∠C=30° D、∠A=60°，∠B=45°，AB=4

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3. 用尺规作图作∠APB的平分线PQ，痕迹如图所示，则此作图的依据是（）

A、(ASA) B、(SSS) C、(SAS) D、(AAS)

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4. 如图，对三角形中的尺规作图描述正确的是（）

A、图1所求作的点P是三角形的内心，图2所求作的点P是三角形的重心 B、图1所求作的点P是三角形的内心，图2所求作的点P是三角形的外心 C、图1所求作的点P是三角形的外心，图2所求作的点P是三角形的内心 D、图1所求作的点P是三角形的外心，图2所求作的点P是三角形的重心

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5. 某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在 $△ A B C$ （）

A、三条高线的交点处 B、三条中线的交点处 C、三个角的平分线的交点处 D、三条边的垂直平分线的交点处

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6. 如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）

A、已知两边及夹角 B、已知三边 C、已知两角及夹边 D、已知两边及一边对角

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7. 如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）

A、SSS B、SAS C、AAS D、HL

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8. 如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）

A、6个 B、7个 C、8个 D、9个

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9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $5 \times 5$ 的正方形网格中，以 $A B$ 为边画直角 $△ A B C$ ，使点 $C$ 在格点上，满足这样条件的点 $C$ 共（）个．

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求作： $△ A B C$ ，使 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ .下面的作图顺序正确的是（）
①以点 $A$ 为圆心，以 $b$ 为半径画弧，以点 $B$ 为圆心，以 $a$ 为半径画弧，两弧交于 $C$ 点；②作线段 $A B$ 等于 $c$ ；③连接 $A C$ ， $B C$ ，则 $△ A B C$ 就是所求作图形.

A、①②③ B、③②① C、②①③ D、②③①

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12. 如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形。图中 $△ A B C$ 是格点三角形，请你找出方格中所有与 $△ A B C$ 全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（ $△ A B C$ 除外）．

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13. 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作 $△ A B C$ ，使 $∠ A = 90 ° ， A B = m ， B C = n$ .

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14. 如图，已知 $△ A B C$ .

(1)、尺规作出角平分线 $B E$ ；

(2)、尺规作中线 $A D$ ；

(3)、作 $B C$ 边的高线.

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15. 如图，在 $6 \times 6$ 的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.

(1)、在图1中画出 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 与 $△ A C B$ 全等，顶点D在格点上.

(2)、在图2中过点B画出平分 $△ A B C$ 面积的直线l.

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16. 人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： $△ A B C$ .

求作： $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ≌ $△ A B C$ .

作法：如图.

（ 1 ）画 $B^{'} C^{'} = B C$ ；

（ 2 ）分别以点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 为圆心，线段 $A B$ ， $A C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $A^{'}$ ；

（ 3 ）连接线段 $A^{'} B^{'}$ ， $A^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

(1)、完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 中，

${\begin{array}{l} B^{'} C^{'} = B C ， \\ A^{'} B^{'} =_____， \\ A^{'} C^{'} =_____， \end{array}$

∴ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ≌_▲_.

(2)、这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①AAS；②ASA；③SAS；④SSS

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17. 在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．

(1)、请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：

(2)、请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为 $\sqrt{10}$ 的直角三角形．

(3)、请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE

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18. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”， $Δ A B C$ 的顶点都在格点上．

⑴直接判断 $Δ A B C$ 的形状．

⑵画出 $Δ A B C$ 关于直线 $M N$ 的对称图形△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

⑶在直线 $M N$ 上作一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 最小，

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二、作图-角平分线

19. 如图，∠AOB=40°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，分别以C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E，画射线OE，过点E作OB的平行线交OA于点F，则∠OEF的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、140°

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20. 下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）

A、① B、② C、①② D、无

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21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）

A、 B、 C、 D、

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22. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 $B A$ 于点M，交 $B C$ 于点N，分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点P，画射线 $B P$ ，交 $A C$ 于点D，若 $A D = B D$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $36 °$ B、 $54 °$ C、 $72 °$ D、 $108 °$

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24. 如图， $B D$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线， $B F$ 平分 $∠ D B C$ ，交 $C D$ 于点 $F$ .

(1)、请用尺规作 $∠ A D B$ 的角平分线 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $E$ （要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：

(2)、根据图形猜想四边形 $D E B F$ 为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.
证明：∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形，

∴ $A D ∥ B C$

∵ $∠ A D B = ∠$       ▲      .（两线平行，内错角相等）.

又∵ $D E$ 平分 $∠ A D B$ ， $B F$ 平分 $∠ D B C$ ，

∴ $∠ E D B = \frac{1}{2} ∠ A D B$ ， $∠ D B F = \frac{1}{2} ∠ D B C$

∴ $∠ E D B = ∠ D B F$ .

∴ $D E ∥$       ▲      （      ）（填推理的依据）

又∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

∴ $B E ∥ D F$ .

∴四边形 $D E B F$ 为平行四边形（      ）（填推理的依据），

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25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

(1)、作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、求证：AD＝AE．

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26. 如图是 $4 \times 4$ 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中作 $∠ A B C$ 的角平分线；

(2)、在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．

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27. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形 $O A B$ ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心 $O$ 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段 $M N$ ，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以 $M N$ 为斜边的等腰直角三角形 $M N P$ ；
【问题再解】如图3，已知扇形 $O A B$ ，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点 $O$ 为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

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28. 两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．

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29. 如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）

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三、作图-垂直平分线

30. 如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB=2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H.则下列说法正确的是（）

A、△ABC是等边三角形 B、AB⊥CD C、AH＝BH D、∠ACD＝45°

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31. 如图，在Rt△ABC中，观察作图痕迹，若BF＝2，则CF的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、2 D、 $\frac{7}{2}$

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32. 已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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33. 如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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34. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C < 90 °$ ， $A B \neq B C$ ， $B E$ 是 $A C$ 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ；②作直线 $M N$ ，分别交 $B C$ ， $B E$ 于点 $D$ ， $O$ ；③连接 $CO$ ， $D E$ ．则下列结论错误的是（）

A、 $O B = O C$ B、 $∠ B O D = ∠ C O D$ C、 $D E ∥ A B$ D、 $△ B O C ≌ △ B D E$

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35. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 5$ ．

(1)、作 $B C$ 的垂直平分线，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $H$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，连接CD，求 $△ B C D$ 的周长．

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36. 如图，已知线段 $A C$ 和线段 $a$ .

(1)、用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $l$ ，交线段 $A C$ 于点 $O$ ；

②以线段 $A C$ 为对角线，作矩形 $A B C D$ ，使得 $A B = a$ ，并且点 $B$ 在线段 $A C$ 的上方.

(2)、当 $A C = 4$ ， $a = 2$ 时，求（1）中所作矩形 $A B C D$ 的面积.

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37. 如图①、图②是6X6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠BCD=∠BDC．

(2)、在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使∠ABE=∠BAE．

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38. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点P，按下列要求作图．

(1)、在图①中，连结PA、PB，使PA＝PB．

(2)、在图2中，连结PA、PB、PC，使PA＝PB＝PC．

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39. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．

(1)、实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），

(2)、猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

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40. 如图

(1)、如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂ ，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC.求证：直线l₁垂直平分AC；

(2)、如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

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41. 综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

(1)、问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C$ ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

(3)、拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 $⊙ O$ 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ▲ ．

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