浙教版备考2023年中考数学一轮复习41.二次函数与不等式（组）

试卷更新日期：2022-12-31 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 一次函数y₁=mx+n(m≠0)与二次函数y₂=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax²+bx+c>mx+n的解集为（）

A、-4<x<3 B、x<-4 C、3-<<x<-4 D、x>3或x<-4

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2. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c \geq - k x + m$ 的解集是（）

A、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 3$ C、 $- 3 \leq x \leq 1$ D、 $- 1 \leq x \leq 3$

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3. 在研究函数图形的性质时，若将自变量x变为 $| x |$ ，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图像变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝-x2+2x＋3的图象，则对于 $y = - x^{2} + 2 | x | + 3$ ，当y＞0时，x的取值范围是（）

A、 $- 1 < x < 3$ B、 $- 1 < x < 1$ C、 $- 3 < x < 3$ D、 $x < - 1 或 x > 3$

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 关于直线 $x = 1$ 对称，点 $(3 ， 0)$ 在抛物线上，那么使得 $a x^{2} + b x + 2 < 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ 或 $x > 3$ B、 $- 1 < x < 3$ C、 $x < 2$ D、 $x > 3$

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5. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的对称轴为x＝ $- \frac{1}{2}$ ，且经过点（﹣2，0），（ $x_{1} ， y_{1}$ ），（ $x_{2} ， y_{2}$ ），下列说法正确的是（　　）

A、bc＞0 B、当 $x_{1} ＞ x_{2}$ ≥﹣ $\frac{1}{2}$ 时， $y_{1} ＞ y_{2}$ C、a＝2b D、不等式 $a x^{2} + b x + c ＜ 0$ 的解集是﹣2＜x＜ $\frac{3}{2}$

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6. 已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ （ $a < 0$ ）与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c \geq k x + m$ 的解集是（）

A、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 3$ C、 $- 1 \leq x \leq 3$ D、 $- 3 \leq x \leq 1$

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7. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象相交于点A（﹣1，y₁）、B（1，y₂）、C（3，y₃）三个点，则不等式ax²+bx+c＞ $\frac{k}{x}$ 的解集是（）

A、﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B、x＜﹣1或1＜x＜3 C、﹣1＜x＜0或x＞3 D、﹣1＜x＜0或0＜x＜1

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8. 在平面直角坐标系中，点 $M$ ， $N$ 的坐标分别为 $(0 ， 4)$ ， $(3 ， 4)$ ，若抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + 3$ 与线段 $M N$ 有且只有一个交点，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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9. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于两点（x₁ ， 0）、（2，0），其中0＜x₁＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax²+bx+c＞﹣ $\frac{c}{x_{1}}$ x+c的解集为0＜x＜x₁.其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 为抛物线 $y = - a x^{2} + 4 a x + c (a \neq 0)$ 图象上的两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} < 4$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ C、若 $a (x_{1} + x_{2} - 4) < 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ D、若 $a (x_{1} + x_{2} - 4) > 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝-x²+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式-x²+2x+3＞kx+b的解集为．

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12. 如图抛物线y=ax²与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交于点C（1，2），不等式 $a x^{2} > \frac{k}{x}$ 的解集是．

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13. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， - 1) ， B (0 ， 3)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > k x + m$ 的解集是.

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14. 抛物线 $y = (a^{2} + 2) x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， t)$ ， $B (5 ， t)$ 两点，则不等式 $(a^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} + b x > - 3 b - c + t$ 的解集是.

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15. 抛物线y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax²+bx+c＞0的解集为.

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16. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴分别交于点 $(- 2, 0)$ 和 $(3, 0)$ ，则不等式 $- x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为．

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三、解答题（共7题，共66分）

17. 自主学习，请阅读下列解题过程.
解一元二次不等式：x²﹣5x＞0

解：设x²﹣5x=0，解得x₁=0，x₂=5，则抛物线y=x²﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）.画出二次函数y=x²﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x²﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x²﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

(1)、一元二次不等式x²﹣5x＜0的解集为.

(2)、用类似的方法解一元二次不等式：x²﹣2x﹣3＞0.

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18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ 图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．

(1)、求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；

(2)、一次函数 $y = k x + b$ 的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式 $k x + b > {(x - 1)}^{2} - 1$ 的解集．

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19. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，根据图象回答问题.

(1)、直接写出 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；

(2)、直接写出方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根；

(3)、直接写出不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集；

(4)、若方程 $a x^{2} + b x + c + k = 1$ 没有实数根，直接写出 $k$ 的取值范围.

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20. 如图，二次函数 $y = {(x + 2)}^{2} + m$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在抛物线上，且与点 $C$ 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过该二次函数图象上的点 $A (- 1 ， 0)$ 及点 $B$ ．

(1)、求二次函数和点 $B$ 的坐标；

(2)、根据图象，写出满足 ${(x + 2)}^{2} + m \geq k x + b$ 的 $x$ 的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系内，设二次函数y₁＝(x－a)²＋a－1(a为常数)．

(1)、若函数y₁的图象经过点(1，2)，求函数y₁的表达式．

(2)、若函数y₁的图象与一次函数y₂＝x＋b(b为常数)的图象有且仅有一个交点，求b 的值．

(3)、已知(m，n)( m＞0)在函数y₁的图象上，当m＞2a时，求证：n＞．

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22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具。

(1)、不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：

销售单价（元）

40+x

销售量y（件）

销售玩具获得利润W（元）

(2)、在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？

(3)、在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

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23. 已知关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、若 $a = 1$ ，函数的图象经过点 $(1 ， - 4)$ 和点 $(2 ， 1)$ ，求该函数的表达式和最小值；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = m + 1$ 时，函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $m$ 的取值范围.

(3)、阅读下面材料：
设 $a > 0$ ，函数图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A$ ， $B$ ，若 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，探究系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，所以 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ；

②因为 $A$ ， $B$ 两点在原点左侧，所以 $x = 0$ 对应图象上的点在 $x$ 轴上方，即 $c > 0$ ；

③上述两个条件还不能确保 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需 $- \frac{b}{2 a} < 0$ .

综上所述，系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件可归纳为： ${\begin{array}{l} a > 0 \\ Δ = b^{2} - 4 a c > 0 \\ c > 0 \\ - \frac{b}{2 a} < 0 \end{array}$

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数 $y = a x^{2} - 2 x + 3$ 的图象在直线 $x = 1$ 的右侧与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围.

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销售单价（元）	40+x
销售量y（件）
销售玩具获得利润W（元）