重庆市名校联盟2022-2023学年高一上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2}$ ，集合 $B = {x | x \leq a}$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | a < 2}$ B、 ${a | a \geq - 1}$ C、 ${a | a < - 1}$ D、 ${a | - 1 \leq a < 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 3 x + 2 < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + 3 x + 2 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + 3 x + 2 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 3 x + 2 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{l n (2 x + 1)}$ 的定义域为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 2]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (0 ， 2]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (0 ， 2]$

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4. 已知幂函数的图象经过点 $P (16 ， \frac{1}{4})$ ，则该幂函数的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $α \in R$ ，则 $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是 $α = \frac{π}{3}$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分且必要 D、既不充分也不必要

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6. 已知实数 $x ､ y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - 1 = 0$ ，且 $x y > 0$ ，若不等式 $4 x + 9 y - t \geq 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的最大值为（）

A、9 B、25 C、16 D、12

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7. 已知 $g (x)$ 为偶函数， $h (x)$ 为奇函数，且满足 $g (x) - h (x) = 2^{x}$ .若对任意的 $x \in [- 1 ， \frac{1}{2}]$ 都有不等式 $m \cdot g (x) + h (x) \leq 0$ 成立，则实数 $m$ 的最大值为（）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $- \frac{3}{5}$

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8. 设函数 $y = g (x - 2) + 3$ 是奇函数，函数 $f (x) = \frac{1 - 3 x}{x + 2}$ 的图像与 $g (x)$ 的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（）

A、 $- 10110$ B、 $- 5050$ C、10110 D、5050

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、终边落在 $x$ 轴的非负半轴的角的集合为 ${α ∣ α = 2 k π ， k \in Z}$ B、终边在 $y$ 轴的正半轴上的角的集合是 ${x ∣ x = \frac{π}{2} + 2 k π ， k \in Z}$ C、第三象限角的集合为 ${α ∣ π + 2 k π \leq α \leq \frac{3 π}{2} + 2 k π ， k \in Z}$ D、在 $- 72 0^{∘} \sim 0^{∘}$ 范围内所有与 $4 5^{∘}$ 角终边相同的角为 $- 67 5^{∘}$ 和 $- 31 5^{∘}$

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10. 下列四个命题中不可能成立的是（）

A、 $s i n α = \frac{1}{3}$ 且 $c o s α = \frac{2}{3}$ B、 $s i n α = 0$ 且 $c o s α = - 1$ C、 $t a n α = 1$ 且 $c o s α = - 1$ D、 $t a n α = \frac{- s i n α}{c o s α}$ （ $α$ 为第二象限角）

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b ， c$ 都是正数，且 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b + c}$ 的最小值是3 B、若 $0 < a < b < 1$ ，则 $\frac{1}{l n a} > \frac{1}{l n b}$ C、若 $x \in R$ ，则 $\sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $a^{2} - b^{2} > - 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l g x | ， x > 0 ， \\ 1 - x^{2} ， x \leq 0 ， \end{array}$ 则方程 $f (2 x^{2} + x) = a (a > 0)$ 的根的个数可能为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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三、填空题

13. 已知扇形的圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，扇形的面积为 $3 π$ ，则该扇形的弧长为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} (x \leq 0) \\ l o g_{2} x ， (x > 0) \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{16})] =$ .

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15. 设函数 $f (x) = l o g_{a} (4 x + \frac{a}{x}) ， (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知某种药物在血液中以每小时 $20 %$ 的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 $3000 m g$ ，设经过 $x$ 个小时后，药物在病人血液中的量为 $y m g$ .
$y$ 与 $x$ 的关系式为.；当该药物在病人血液中的量保持在 $1800 m g$ 以上，才有疗效；而低于 $600 m g$ ，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到 $0.1)$ .
（参考数据： $0 . 2^{0.3} \approx 0.6 ， 0 . 8^{2.3} \approx 0.6 ， 0 . 8^{7.2} \approx 0.2 ， 0 . 8^{9.9} \approx 0.1$ ）

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - (- 2.5)^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{2}{3})}^{- 2}$

(2)、 $l o g_{3} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 + 7^{l o g_{7} 2}$

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18. 已知 $a \in R$ ，集合 $A = {x | 2 a \leq x \leq a + 3}$ ， $B = {x | x^{2} + 5 x - 6 \leq 0}$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求a的取值范围．

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19. 2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由于受场地的限制，x不能超过2米.

(1)、求沼气池总造价y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；

(2)、怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.

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20. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值.

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明.

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (4^{- x}) + f (4 - 5 \times 2^{- x}) < 0$ .

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (a^{x} + 1) - b x (a > 0$ 且 $a \neq 1 ， b \in R)$ 是偶函数，函数 $g (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、求实数 $b$ 的值.

(2)、当 $a = 2$ 时，
①求 $f (x)$ 的值域.
②若 $\forall x_{1} \in (1 ， + ∞) ， \exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (2 x_{1}) + m g (x_{1}) - f (2 x_{2}) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在唯一的非零实数 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是“v型函数”．已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2$ ， $g (x) = a | x + a | + a^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 0 ， \\ g (x) ， x > 0 ， \end{array}$ 是“v型函数”，若方程 $h (x) = t x + 3 (t > 0)$ 存在两个不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $(x_{1} + x_{2}) (1 - \frac{1}{x_{1} x_{2}})$ 的取值范围．

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