重庆市2023届高三上学期数学12月调研试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $(a + 2 i) i = b + 3 i (a ， b \in R)$ ，则（）

A、 $a = 3$ ， $b = 2$ B、 $a = - 3$ ， $b = 2$ C、 $a = 3$ ， $b = - 2$ D、 $a = - 3$ ， $b = - 2$

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2. 已知函数 $f (x + 2) = x^{2} - 3 x + 4$ ，则 $f (1) =$ （）

A、4 B、6 C、7 D、8

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3. 某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：
命中球数
46
47
48
49
50
频数
2
4
4
6
4
则这组数据的中位数和众数分别为（）

A、48，4 B、48.5，4 C、48，49 D、48.5，49

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4. “ $s i n (α + 3 π) - c o s (α - π) = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ”是“ $s i n 2 α = \frac{9}{16}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是 $a$ ， $b$ ，则大吕和夹钟的波长之和为（）

A、 $a + b$ B、 $a b$ C、 $\sqrt[3]{a^{2} b} + \sqrt[3]{a b^{2}}$ D、 $\frac{\sqrt[3]{a^{2} b} + \sqrt[3]{a b^{2}}}{a}$

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A A_{1} = A B$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $D F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别在 $B C$ ， $A C$ 上，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{A E} = \vec{E C}$ ， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，若 $\vec{A F} = λ \vec{A D}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意的 $x > 0$ ， $f (x + 2) = - 2 f (x)$ 成立，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ ，若对任意的 $x \in [- m ， m] (m > 0)$ ，都有 $| f (x + 1) | \leq 3$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $\frac{13}{2}$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x^{2} = 4}$ ， $B = {x | a x + 4 = 0}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则 $a$ 的取值可以是（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 2$

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10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥 $P -$ $A B C D$ 为阳马，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（）

A、该阳马的体积为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、该阳马的表面积为 $10 + 2 \sqrt{5}$ C、该阳马外接球的半径为 $\sqrt{13}$ D、该阳马内切球的半径为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x$ 满足 $f^{'} (x) - f (x) = e^{x}$ ，则（）

A、 $e f (1) < f (2)$ B、 $e^{3} f (- 1) < f (2)$ C、 $e f (0) < f (1)$ D、 $e f (0) < f (- 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有3个零点，则（）

A、 $\frac{7}{6} \leq ω \leq \frac{5}{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{7} ， \frac{11 π}{10}]$ 上单调递减 C、函数 $g (x) = f (x) - \sqrt{2}$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上最多有3个零点 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上恰有2个极值点

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三、填空题

13. 写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：．
①圆心在直线 $y = x + 1$ 上，②与 $y$ 轴相切．

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14. 已知 $0 < a < 3$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{3 - a}$ 的最小值是．

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15. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 经过点 $A (1 ， 1)$ 的切线方程是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sqrt{2} a = c (s i n B + 2 \sqrt{2} c o s B)$ ．

(1)、求 $t a n C$ 的值；

(2)、若 $b = 6$ ， $△ A B C$ 的面积是 $10 \sqrt{2}$ ，求 $c$ 的值．

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18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，将 $△ A C D$ 沿边 $A C$ 翻折，使点 $D$ 翻折到 $P$ 点，且 $P B = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(2)、若 $E$ 为线段 $P C$ 的中点，求二面角 $E - A B - C$ 的余弦值．

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19. 现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：

喜欢
其他
合计
男
10
20
30
女
40
30
70
合计
50
50
100
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、根据表中调查数据，并依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关？

(2)、若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1) (n \in N_{+})$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等差数列．

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2} \cdot \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x s i n (x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ ，讨论函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (m + 1) f (x) + m$ 的零点个数．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f^{'} (x) = 0$ 有两个不同的正实根，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq (e - 2) x + a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ）

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命中球数	46	47	48	49	50
频数	2	4	4	6	4

	喜欢	其他	合计
男	10	20	30
女	40	30	70
合计	50	50	100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828