云南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学12月大联考试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x - 7 \leq 0}$ ， $B = {x | 1 + x > 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2 ， 7]$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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2. 若复数 $z = 2 i (1 + 2 i) - i^{3}$ ，则 $| z | =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 已知 $a = l g 9$ ， $b = 2^{0.1}$ ， $c = l n \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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4. 已知直线 $l_{1} ： \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ 与 $l_{2} ： (m + 2) x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 某班60名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，则该成绩的第70百分位数约为（）

A、73.6 B、75.5 C、76.2 D、78.3

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ A C$ ， D为 $C C_{1}$ 的中点， $A B = A C = A A_{1}$ ，则 $A B_{1}$ ， $A_{1} D$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$

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8. 如图，已知 $A (5 ， 0)$ ， $B (0 ， 5)$ ，从点 $P (1 ， 0)$ 射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{26}$ D、 $4 \sqrt{13}$

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二、多选题

9. 若圆 $M ： {(x - k)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $N ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相交，则k的取值可能为（）

A、 $- 1$ B、0 C、3 D、5

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10. 将函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，下列说法正确的是（）

A、当 $θ = \frac{5 π}{6}$ 时， $g (x)$ 为偶函数 B、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时， $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时， $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[0 ， \sqrt{3}]$ D、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，函数 $y = g (x) - \frac{9}{5}$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上有2个零点

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11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 2$ ， E，F分别为PD，PB的中点，则（）

A、 $E F ⊥$ 平面PAC B、 $A B / /$ 平面EFC C、点F到直线CD的距离为 $\sqrt{6}$ D、点A到平面EFC的距离为 $\frac{4 \sqrt{11}}{11}$

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12. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + m (m \neq 0)$ 的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（）

A、圆心F在直线 $x = 2$ 上 B、m的取值范围是 $(0 ， 4)$ C、圆F面积的最小值为 $4 π$ D、存在定点G，使得圆F恒过点G

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (λ + 1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C分别交于M，N两点，则 $△ F_{1} M N$ 的周长为．

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15. 已知正数a，b满足 $\frac{5}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a + 5 b$ 的最小值为．

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16. 阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的 $\frac{2}{3}$ ．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线 $l ： y = 6$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 6 y$ 交于A，B两点，则在A，B两点处的抛物线C的切线斜率的绝对值均为，直线l与抛物线C所围成的封闭图形的面积为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 2 f (- x) = 6 x^{2} - 4 x + 12$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = 8 x^{2} + 16 x - m$ ，若对任意 $x \in [- 3 ， 3]$ ， $f (x) ≥ g (x)$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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18. 已知直线 $l ： (m + 1) x + (1 - m) y - 2 = 0 (m \in R)$ ， $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ ．

(1)、证明：无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点．

(2)、设直线l和圆C交于A，B两点，求线段AB最短时直线l的方程．

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $(b^{2} - c^{2}) \cdot s i n B = 2 S$ ．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求c的长；

(2)、若 $C = \frac{π}{6}$ ，求角B的大小．

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20. 某地为宣传防疫政策，组织专家建设题库供各单位学习，半个月后，当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛，规则如下：每队三人，需要从题库中选三道题依次回答，每人一题．第一道题回答正确得10分，回答错误得0分；第二道题回答正确得20分，回答错误扣10分；第三道题回答正确得30分，回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛，选拔了三位选手，这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表：
选手
1号
2号
3号
正确率
80%
80%
90%
假设选手答题结果互不影响，用频率代替概率．

(1)、若学校安排1号、2号、3号依次出场回答，则“闯关成功”的概率是多少？

(2)、如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？

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21. 如图，在平行四边形ABCD中， $B C = \sqrt{2} A B = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ，四边形ACEF为矩形，平面 $A C E F ⊥$ 平面ABCD， $A F = 1$ ，点G在线段EF上运动．

(1)、当 $A E ⊥ D G$ 时，求 $\frac{F G}{E F}$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求平面GCD与平面CDE夹角的余弦值．

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (x_{0} ， p)$ 在抛物线C上， $Q (- 1 ， 0)$ ， $| F P | = | F Q | + 1$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一个圆上，求l的方程．

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选手	1号	2号	3号
正确率	80%	80%	90%