云南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学9月大联考试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $| \frac{2 + 6 i}{1 - i} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | 2 a - 1 < x < a + 3}$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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3. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} ， 2 \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{b} + 2 \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} - 2 \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} ， 2 \vec{a} - \vec{c} ， 2 \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{c}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， 3)$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = | 3 \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{49}{2}$ B、14 C、 $\sqrt{14}$ D、 $\frac{35}{4}$

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5. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且 $2 c o s 2 α + 5 s i n α = - 4$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A F$ 与 $D E$ 的位置关系为（）

A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、异面但不垂直

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7. 如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O E} = \frac{1}{2} \vec{E A} ， \vec{B F} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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8. 甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙同学每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知圆锥的高为 $5$ ，底面积为 $5 π$ ，若圆锥的顶点及底面圆周上的点均在同一个球的球面上，则该球的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $27 π$ C、 $12 π$ D、 $9 π$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D，若 $A D = D C = 2$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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11. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， E是 $B B_{1}$ 的中点，F是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若过A，E，F三点的平面与 $B_{1} C_{1}$ 交于点G，则 $| A_{1} G | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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12. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x - 1)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [1 ， 3]$ 时， $f (x) = a c o s π x + b s i n π x + 2$ ，则 $f (- 18) =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， x ， 6) ， \vec{b} = (3 ， 6 ， y)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + y =$ ．

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14. 某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为．

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15. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足① $a b + a + 2 b = 7$ ， ② $2 a + b = a b$ 两个条件中的一个，则 $a + b$ 的最小值为.

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16. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\sqrt{2}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若 $E$ 为线段 $B C$ 的中点，则直线 $D E$ 与直线 $A F$ 所成角的余弦值为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上的最值．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，且 $A B = 2 A D = 2 A A_{1} = 2$ ．

(1)、求点 $B_{1}$ 到平面ACE的距离；

(2)、求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值．

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19. 为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

(2)、用分层随机抽样的方法从问答成绩在 $[60 ， 80)$ 内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在 $[70 ， 80)$ 内的概率.

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20. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} a c o s C = c s i n A$ ， $b - c = 1$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若 $c o s B = \frac{1}{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知 $f (x)$ 是R上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $g (x) = f (x) + a x^{2} - 2 x + 7$ ，若存在 $x_{0} \in [2 ， 3]$ ，使得 $g (x_{0}) > 0$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 2 A B = 4$ ， E为AD的中点，以EC为折痕将 $△ C D E$ 折起，使点D到达点P的位置，且 $P B = \sqrt{10}$ ， F，G分别为BC，PE的中点．

(1)、证明： $P B ∥$ 平面AFG．

(2)、若平面PAB与平面PEF的交线为l，求直线l与平面PBC所成角的正弦值．

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