山东省潍坊市2022-2023学年高三上学期数学12月学科核心素养测评试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + i$ ，则 ${(\frac{z}{\bar{z}})}^{5}$ 的值是（）

A、32 B、 $- 32$ C、i D、-i

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ 和 $Q = {x | x = 2 k - 1 ， k \in Z}$ 的关系的韦恩（Venn）图，如图所示，则阴影部分所表示集合的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则直线 $A D_{1}$ 与直线 $B_{1} C$ 的距离为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 已知函数 $f (3 x + \frac{1}{2}) = \frac{2 e^{| x |} + s i n x + 4}{e^{| x |} + 2}$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2022}{2023}) =$ （）

A、404 B、4044 C、2022 D、2024

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5. 锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足 $\vec{A O} = 3 \vec{O D}$ ，且满足 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、3 D、 $\frac{16}{3}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 共有10项，且满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{10} = 11$ ，每一项与前一项的差为 $2$ 或 $- 2$ ，从满足上述条件的所有数列中任取一个数列，则取到的数列满足每一项与前一项的差为 $- 2$ 的项都相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{18}$

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7. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有5个极值点，4个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{6} ， \frac{9}{2}]$ B、 $[4 ， \frac{14}{3}]$ C、 $[\frac{14}{3} ， \frac{16}{3}]$ D、 $(\frac{14}{3} ， \frac{16}{3}]$

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8. 已知 $a = 1 0^{12}$ ， $b = 1 1^{11}$ ， $c = 1 2^{10}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、多选题

9. 某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2017年至2021年共5年的年借阅数据如下表：

年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
年借阅量 $y$ （万册）	2	17	36	93	142

根据上表，可得 $y$ 关于 $x$ 的二次回归方程为 $\hat{y} = 6 x^{2} + a$ ，则下列说法正确的是（）

A、

a = 4

B、2，17，36，93，142的第三四分位数为93 C、此回归模型2020年的残差（实际值与预报值之差）为5 D、估计2022年借阅数为220

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10. 已知圆 $A$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$ ，直线 $l_{1}$ ： $x + 2 y + 7 = 0$ ，过点 $B (- 2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与圆A相交于M、N两点， $Q$ 是MN的中点．直线 $l$ 与 $l_{1}$ 相交于点P．则下列结论正确的是（）

A、圆 $A$ 与直线 $l_{1}$ 相切 B、 $| M N |$ 的最小值为 $2 \sqrt{15}$ C、圆 $E$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆A相交 D、 $\vec{B Q} \cdot \vec{B P}$ 为定值

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为减函数 B、当 $x_{1} > x_{2} > 0$ 时， $\frac{f (x_{1})}{x_{2}^{2}} > \frac{f (x_{2})}{x_{1}^{2}}$ C、若方程 $f (| x |) = a$ 有2个不相等的解，则 $a$ 的取值范围为 $(0 ， + ∞)$ D、 $l n (1 + \frac{1}{2}) + l n (1 + \frac{1}{2^{2}}) + \cdot \cdot \cdot + l n (1 + \frac{1}{2^{n}}) < 1$ ， $n \in N_{+}$

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12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为 $3 a$ 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为 $a$ 的截角四面体，则下列说法正确的是（）

A、该截角四面体的内切球体积 $\frac{\sqrt{3}}{8} π a^{3}$ B、该截角四面体的体积为 $\frac{23 \sqrt{2}}{12} a^{3}$ C、该截角四面体的外接球表面积为 $\frac{13}{2} π a^{2}$ D、 $△ A E F$ 外接圆的面积为 $\frac{5}{4} π a^{2}$

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三、填空题

13. 已知 ${(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} (2 + x) + a_{2} {(2 + x)}^{2} + a_{3} {(2 + x)}^{3} + a_{4} {(2 + x)}^{4} + a_{5} {(2 + x)}^{5}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} - 2 ， x \leq 1 \\ l o g_{2} (x + 1) ， x > 1 \end{array}$ ，试举出一个 $a$ 的值，使得 $f (a) + f (6 - a) = \frac{5}{4}$ 成立，则 $a$ 可以为．（写出一个即可）

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15. 若对于任意 $m \in [- 1 ， 1]$ ，任意 $y ∈ R$ ，使得不等式 $x^{2} + (3 - m) x - 6 < | y - 1 | + | y - 3 |$ 成立，则实数 $x$ 的取值范围是．

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16. 边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝对值作为随机变量X，则其数学期望 $E (X) =$ ．

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四、解答题

17. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 $\frac{c o s B}{a b} + \frac{c o s C}{a c} + \frac{2 c o s A}{b c} = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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19. 2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了胜负）：

球队负
球队胜
总计
甲参加
3
29
32
甲未参加
7
11
18
总计
10
40
50
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；

(2)、根据以往的数据统计，乙球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋、后腰以乃后卫时，球队输球的概率依次为：0.4、0.3、0.4、0.2．则：
①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？

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20. 如图①在平行四边形ABCD中， $A E ⊥ D C$ ， $A D = 4$ ， $A B = 3$ ， $∠ A D E = 60 °$ ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使平面 $A D E ⊥$ 平面ABCE，得到图②所示几何体．

(1)、若M为BD的中点，求四棱锥 $M - A B C E$ 的体积 $V_{M - A B C E}$ ；

(2)、在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ，如果存在，求直线EM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，说明理由．

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21. 定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到 $n$ 阶和数列，如 ${2 ， 4}$ 的一阶和数列是 ${2 ， 6 ， 4}$ ，设n阶和数列各项和为 $S_{n}$ ．

(1)、试求数列 ${2 ， 4}$ 的二阶和数列各项和 $S_{2}$ 与三阶和数列各项和 $S_{3}$ ，并猜想 ${S_{n}}$ 的通项公式（无需证明）；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(S_{n} - 3) (2 n + 1)}{l o g_{3} (S_{n} - 3) \cdot l o g_{3} (S_{n + 1} - 3)}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $m$ 项和 $T_{m}$ ，若 $T_{m} > \frac{2025}{2}$ ，求 $m$ 的最小值

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 1}$ ， $g (x) = (1 - x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \in (0 ， 1)$ 时， $y = g (x) - m$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①证明： $x_{1} + x_{2} < 0$ ；
②设函数 $y = f (x) + m - 2$ 的两个零点 $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{3} < x_{4}$ ，证明： $x_{2} + x_{3} > 0$ ．

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	球队负	球队胜	总计
甲参加	3	29	32
甲未参加	7	11	18
总计	10	40	50

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828