山东省百校大联考2022-2023学年高三上学期12月数学试题

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{l o g_{2} (x - 1)}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} i$

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3. “ $a \leq 4$ ”是“函数 $f (x) = e^{x} - (a - 3) x - 3$ 是 $R$ 上的单调增函数”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、即不充分也不必要条件

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4. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量（）

A、 $- \vec{b}$ B、 $\vec{b}$ C、 $- \vec{a}$ D、 $\vec{a}$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{9} = 4$ ，则 $a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8}$ 等于（）

A、 $\pm 128$ B、128 C、 $\pm 256$ D、256

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6. 下列点中为函数 $y = {(s i n x + c o s x)}^{2} + 2 c o s^{2} x$ 的对称中心的是（）

A、 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{8} ， 2)$ C、 $(\frac{7 π}{8} ， 2)$ D、 $(- \frac{π}{8} ， 1)$

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7. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C_{1} C ⊥ A C$ ， $A_{1} A ⊥ B C$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A A_{1} B$ ， $A C = 5$ ，若该三棱柱存在体积为 $\frac{4}{3} π$ 的内切球，则三棱锥 $A - A_{1} B C$ 体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1 ， 1)$ ，对任意的 $x$ ， $y \in (- 1 ， 1)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ，且当 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.若 $α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则不等式 $2 f (t a n α) > f (t a n 2 α)$ 的解集是（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ B、 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ C、 $(- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8})$ D、 $(0 ， \frac{π}{8})$

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二、多选题

9. 在下列函数中，最小值是4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x}$ B、 $y = \frac{x + 5}{\sqrt{x + 1}} (x > 0)$ C、 $y = s i n x + \frac{4}{s i n x}$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ D、 $y = 4^{x} + 4^{1 - x}$

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10. 给出的下列选项中，正确的是（）

A、函数 $y = s i n (\frac{π}{3} - 2 x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] ， k \in Z$ B、将函数 $y = s i n 7 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，将得到 $y = s i n (7 x - \frac{π}{3})$ 的图象 C、函数 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点 D、函数 $y = \sqrt{\frac{1 - c o s 2 x}{2}} + \sqrt{\frac{1 + c o s 2 x}{2}}$ 最小正周期为 $π$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 、 $F$ 、 $H$ 是棱 $B C$ 、 $D_{1} C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 上的动点（包含端点），且满足 $C E = D_{1} F = A H$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $E F H$ B、存在 $E$ 、 $F$ 、 $H$ ，使得点 $D$ 到平面 $E F H$ 的距离为1 C、平面 $E F H$ 截此正方体所得截面面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、平面 $E F H$ 截此正方体所得截面的周长为定值

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12. 已知函数 $f (x) = x - l n (x + 1)$ ，数列 ${x_{n}}$ 按照如下方式取定： $x_{1} = 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{n + 1} ， f (x_{n + 1}))$ 处的切线与经过点 $(0 ， f (0))$ 与点 $(x_{n} ， f (x_{n}))$ 的直线平行，则（）

A、 $x_{2} > \sqrt{2} - 1$ B、 $x_{n} > 0$ 恒成立 C、 $\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} > \frac{1}{2}$ D、数列 ${x_{n}}$ 为单调数列

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三、填空题

13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，直线 $A D$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，点 $E$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，则点 $D_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离为.

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + 7 y = 4$ ，则 $\frac{2}{x + 3 y} + \frac{1}{2 x + y}$ 的最小值为.

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15. 已知矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 4$ ， $B C = 16$ ， $Q$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为矩形 $A B C D$ 所在平面内的动点，且 $P A = 1$ ，则 $\vec{P Q} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的取值范围为.

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16. 著名的斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，其通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \cdot \cdot \cdot + a_{100}$ 是斐波那契数列中的第项；又知高斯函数 $y = [x]$ 也称为取整函数，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.1] = 1$ ， $[- 1.1] = - 2$ ，则 $[{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{14}] =$ .（ $\sqrt{5} \approx 2.236)$

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 与面积 $S$ 满足关系式： $4 \sqrt{3} S - b^{2} = c^{2} - a^{2} ， a = 2$ 且在______① $b = 2 \sqrt{3}$ ， ② $b = 4$ ， ③ $b = 3 \sqrt{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在前面横线中，求满足条件 $△ A B C$ 的个数.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答得分.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = 8$ ， $a_{3} = 32$ ， $b_{n} = l o g_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并证明数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2 c o s A c o s B = \sqrt{3} s i n B - 2 c o s C$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $M (\sqrt{3} ， a)$ ， $N (2 s i n B ， b)$ 是斜率为2的直线上的两个不重合的点，求 $b + c$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x - l n x$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ （ $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）.

(1)、讨论当 $a ≤ e$ 时，函数 $h (x) = f (x) + a g (x)$ 的单调性；

(2)、判断方程 $f (x) = g (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是否有解，并说明理由.

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21. 刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F ∥ A B$ ， $A B = 4 E F = 4$ ， $F B = F C$ ， $F O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O$ 为垂足，且 $∠ O A B = ∠ O B A$ ， $M$ 为 $F C$ 的中点.

(1)、求证： $O M / /$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、若多面体 $A B C D E F$ 的体积为12，求平面 $B C F$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a t a n x - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ ， $(0 ， \frac{π}{2})$ 各恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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