辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期数学12月联合考试试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）

A、 $\emptyset$ B、S C、T D、Z

查看试题解析
2. 命题 $p ：$ 关于x的不等式 $a x^{2} + a x - x - 1 < 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{a}) ∪ (- 1 ， + \infty) (\frac{1}{a} < - 1)$ 的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \leq - 1$ B、 $a > 0$ C、 $- 2 < a < 0$ D、 $a < - 2$

查看试题解析
3. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在区间 $(2 a ， 3 - a^{2})$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， - 1]$

查看试题解析
4. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角是锐角，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(1 - \sqrt{11} ， 2) ∪ (2 ， 1 + \sqrt{11})$ B、 $(- 2 ， 5)$ C、 $(1 - \sqrt{11} ， 1 + \sqrt{11})$ D、 $(- \infty ， 1 - \sqrt{11}) ∪ (1 + \sqrt{11} ， + \infty)$

查看试题解析
5. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）

A、 $y = x^{2} - 2 x$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = s i n x$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

查看试题解析
6. 若过点 $(4 ， 2)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x - y - 6 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
7. 定义在R上的函数于 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 是偶函数，且于 $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ，若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ，若 $a = f (l o g_{2} \frac{1}{3})$ ， $b = f (l o g_{8} 12)$ ， $c = f (l g 15)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

查看试题解析

二、多选题

9. 设复数 $z = \frac{1}{a + b i}$ （ $a$ ， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ），则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 不可能是实数 B、 $| z | = | \bar{z} |$ 恒成立 C、若 $z^{2} \in R$ ，则 $a = 0$ D、若 $z + \frac{1}{z} \in R$ ，则 $| z | = 2$

查看试题解析
10. 若曲线 $y = (x + a) e^{2 x}$ （e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、0 D、1

查看试题解析
11. 已知x，y是正数，且 $2 x + y = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、xy的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $x (x + y)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{y - x + 1}{x y}$ 的最小值为9

查看试题解析
12. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直， $A D = D E = 2$ ， G为线段AE上的动点，则（）

A、 $A E ⊥ C F$ B、多面体ABCDEF的体积为 $\frac{8}{3}$ C、若G为线段AE的中点，则 $G B$ $/ /$ 平面CEF D、点M，N分别为线段AF，AC上的动点，点T在平面BCF内，则 $| M T | + | N T |$ 的最小值是 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $△ A O B$ 为等腰三角形， $| O A | = | A B |$ ， $A (1 ， 3)$ ，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为．

查看试题解析
14. 将函数 $f (x) = 4 s i n (\frac{π}{2} - \frac{π}{2} x)$ 的图像和直线 $l ： y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的所有交点从左到右依次记为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n} (n \in N^{*})$ ，若点P坐标为 $(0 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{P A_{1}} + \vec{P A_{2}} + ⋯ + \vec{P A_{n}} | =$ ．

查看试题解析
15. 已知在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，高为4，点 $D$ 在侧棱 $B B_{1}$ 上，且 $A D$ 与 $D C_{1}$ 垂直，则三棱锥 $A - B_{1} C_{1} D$ 的外接球表面积为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 1 | + x^{2} - k x (x \in R)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数k的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{6}]$ 内是增函数．

(1)、求 $ω$ 的取值范围；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图像与将其向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后所得到的图像重合．求 $ω$ 的值．

查看试题解析
18. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分別为a，b，c，且满足 $b - 2 a + 4 a s i n^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ．

(1)、证明： $3 t a n A + t a n C = 0$ ；

(2)、求角B的最大值．

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列；

(3)、求数列 ${\frac{n + 1}{n} \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
20. 如图，在直角三角形ABC中，直角边 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， M为AB的中点，Q为BC的中点，将三角形AMC沿着MC折起，使 $A_{1} M ⊥ M B$ （ $A_{1}$ 为A翻折后所在的点），连接MQ．

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ M Q$ ；

(2)、求直线MB与平面 $A_{1} M C$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
21. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0 ， 1) ， B (0 ， 4) ，$ 平面内动点P满足 $2 | P A | = | P B |$ ．

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、点P轨迹记为曲线 $τ$ ，若C，D是曲线 $τ$ 与 $x$ 轴的交点，E为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，直线CE，DE与曲线 $τ$ 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求 $\frac{1}{{| M Q |}^{2}} + \frac{1}{{| N Q |}^{2}}$ 的最小值．

查看试题解析
22. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = a^{x} + a^{\frac{1}{x}}$ ， $g (x) = l n x + \frac{1 - x}{x}$ ．

(1)、证明： $g (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、若对 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $f (x) \leq \frac{2}{a}$ 恒成立，求a的取值范围．

查看试题解析