辽宁省葫芦岛市协作校2022-2023学年高一上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 1 - x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$

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2. 已知 $- 2 < x < 2$ ， $1 < y < 3$ ，则 $x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $(- 8 ， 0)$ B、 $(- 8 ， 2)$ C、 $(- 4 ， 2)$ D、 $(- 10 ， - 2)$

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}} + {(x - 2)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $(1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(0 ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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4. 函数 $y = \frac{| x |}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 ， \\ 0 ， x = 0 ， \\ - 1 ， x < 0 ， \end{array}$ 则“ $s g n (a) = s g n (b)$ ” 是“ $a b > 0$ ” 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1$ ，则 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、16 B、8 C、20 D、12

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7. 设 $y_{1} = 1 1^{1.2}$ ， $y_{2} = 8^{1.4}$ ， $y_{3} = 13 0^{0.6}$ ，则（）

A、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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8. 已知 $a > 0$ ，设函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} + m ， x \in [- a ， a] ，$ $m \in N$ 则 $f (a) + f (- a)$ 的值可能为（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a^{3} - b^{3} > 0$ C、 $a^{2} + 1 > b^{2} - 1$ D、 $3 a > 2 b$

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10. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 > 0$ ，则（）

A、 $p$ 为全称量词命题 B、 $p$ 为存在量词命题 C、 $p$ 为真命题 D、 $p$ 的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 \leq 0$ ”

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11. 某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为 $y = e^{a x + b} + k$ ， 3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（）

A、 $a = - l n 5$ B、 $k = 15$ C、1等奖的面值为3130元 D、3等奖的面值为130元

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12. $\exists x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2}) ， f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，我们称 $f (x)$ 为互补函数．下列函数为 “互补函数” 的是（）

A、 $y = 0 . 6^{x}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{3} + x + 1$ D、 $y = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \leq 0 ， \\ 2 x - 2 ， x > 0 \end{array}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，写出一个满足 $A \cup B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ 的集合： $B =$ .

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14. 函数 $y = l o g_{a} (2 x - 3) + 4$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像过定点A，且点A在幂函数 $f (x)$ 的图像上，则 $f (f (3)) =$ .

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15. 若方程 $x^{2} + (2 - m) x - 1 = 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上仅有一个实根，则 $m$ 的取值范围是

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{x} - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 0 \\ | l o g_{5} x | - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 0 \end{array}$ 的零点个数为.

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 $9^{\frac{1}{3}} \times 9^{\frac{2}{3}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + {(π - 1)}^{0}$ ；

(2)、 $l o g_{5} \frac{1}{2} + l o g_{5} 50 - e^{l n 4} .$

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 9}$ ， $B = {x | m - 6 \leq x \leq 2 m + 1}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知正数a，b满足5a+b=10.

(1)、求ab的最大值；

(2)、证明： $\frac{5}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{18}{5} .$

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{16 - x^{2}} ， x \in (- 4 ， 4)$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 为奇函数．

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 4 ， 4)$ 上的单调性，并证明你的结论．

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (2 t) < 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x^{2} - 2 a x + 3 a^{2} - 5 a + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x)$ 在 $R$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a^{2 x} - 3 a^{x} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过 $(1 ， 0)$ ．

(1)、设函数 $g (x) = \frac{1}{\sqrt{f (x)}}$ ，求 $g (x)$ 的定义域；

(2)、若 $\forall x \in R ， 2 m^{2} - 3 m < f (x) (2^{x} - 3) (2^{x} - 4)$ ，求 $m$ 的取值范围．

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