辽宁省葫芦岛市协作校2022-2023学年高二上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $l$ 的方程为 $3 x - y - 6 = 0$ ，则（）

A、 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ B、 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为6 C、 $l$ 的截距式为 $\frac{x}{2} - \frac{y}{6} = 0$ D、 $l$ 的倾斜角为锐角

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2. 某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）

A、40种 B、20种 C、15种 D、11种

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3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥 $P - A B C D$ 是阳马， $P A$ 上平面 $A B C D$ ，且 $\vec{E C} = 2 \vec{P E}$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$

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4. 抛物线 $C ： y^{2} = - 12 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为抛物线 $C$ 上一动点，定点 $A (- 5 ， 2)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为（）

A、8 B、6 C、5 D、9

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5. 小陈准备将新买的《尚书·礼记》、《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、48种

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6. 《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图， $△ S A B$ 、 $△ S C D$ 是直角圆锥 $S O$ 的两个轴截面，且 $c o s ∠ B O C = \frac{1}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{39} = 1$ 上的点 $P$ 到上焦点的距离为12，则 $P$ 到下焦点的距离为（）

A、22 B、2 C、2或22 D、24

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8. 笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为长方体，且 $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，则 $A P + P D$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则实数 $m$ 的取值可能是（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则（）

A、 $C$ 的焦点坐标为 $(0 ， \pm \sqrt{3})$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{2} x$ C、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{6}$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是棱 $A B$ 上一动点，则 $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知动点 $P$ 到原点 $O$ 与 $A (2 ， 0)$ 的距离之比为2，动点 $P$ 的轨迹记为 $C$ ，直线 $l ： 3 x - 4 y - 3 = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 ${(x - \frac{8}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{16}{9}$ B、动点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围为 $[\frac{1}{3} ， \frac{7}{3}]$ C、直线 $l$ 被 $C$ 截得的弦长为 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $C$ 上存在三个点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的实轴长为．

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14. 若函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + a}$ 的图象是半径为 $r (2 < r < 3)$ 的圆的一部分，则a的一个值可以是．

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15. 如图，提供4种不同的颜色给图中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有种．

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16. 设椭圆 $C$ 的上顶点为 $D (0 ， 1)$ ，且长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，则椭圆 $C$ 的标准方程为；过 $D$ 任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则直线 $A B$ 过定点．

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四、解答题

17.

(1)、求两条平行直线l₁：12x-5y+m=0与l₂：12x-5y+m+13=0间的距离；

(2)、求过点 $(- 1 ， 7)$ 且与直线 $3 x - 5 y = 0$ 垂直的直线方程.

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18. 将4个不同的小球放入2个不同的袋子中．

(1)、若每个袋子中放2个小球，有多少种放法？

(2)、若每个袋子中至少放1个小球，有多少种放法？

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = m$ 经过点 $(5 ， - 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $P (1 ， 1)$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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20. 已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (4 ， - 5)$ ， $C (1 ， 4)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的方程；

(2)、直线 $l ： 3 x - 4 y + 28 = 0$ 上有一动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $△ A B C$ 外接圆的一条切线，切点为 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最小值，并求点 $P$ 的坐标．

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21. 如图，已知矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 所在平面与平面 $A B B_{1} N$ 垂直，在直角梯形 $A B B_{1} N$ 中， $A N / / B B_{1}$ ， $A B ⊥ A N$ ， $A B = B C = A N = \frac{1}{2} B B_{1}$ ．

(1)、证明： $B_{1} N ⊥$ 平面 $B C N$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B C_{1} N$ 所成角的正弦值．

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22. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $P (2 ， y_{0})$ 到焦点 $F$ 的距离为2．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、抛物线 $C$ 的准线与 $y$ 轴交于点A，过A的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $M F$ 与抛物线 $C$ 的准线交于点 $B$ ，点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，试判断 $F$ ， $N$ ， $B^{'}$ 三点是否共线，并说明理由．

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