辽宁省丹东市五校2022-2023学年高三上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ - 2 ⩽ x < 3} ， B = {x ∣ y = \sqrt{1 - l n x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 $[- 2 ， e]$ D、 $(0 ， e]$

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2. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合．若角 $α$ 终边上一点 $P$ 的坐标为 $(c o s \frac{2 π}{3} ， s i n \frac{2 π}{3})$ ，则 $s i n α t a n α =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）

A、a，b均为负数，则 $\frac{2 a}{b} + \frac{b}{2 a} \geq 2$ ． B、 $\frac{x^{2} + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} \geq 2$ ． C、 $s i n x + \frac{4}{s i n x} \geq 4$ ． D、 $a \in R^{+} ， (3 - a) (1 - \frac{3}{a}) \leq 0$ ．

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4. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）
图1 图2

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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5. 下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 是一组两两相互独立的事件，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ B、若 $A$ ， $B$ 事件满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A$ ， $B$ 是对立事件 C、若 $A$ ， $B$ 是互斥事件，则 $P (\bar{A} ∪ \bar{B}) = 1$ D、“ $A$ ， $B$ 是互斥事件”是“ $A$ ， $B$ 是对立事件”的充分不必要条件

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6. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角正切值为 $2 \sqrt{6}$ ，且 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $S_{2} = 48$ ， $S_{4} = 60$ ，则使得 $T_{n} < 1$ 成立的正整数 $n$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. 设 $a = s i n \frac{1}{11}$ ， $b = l n 1.1$ ， $c = \sqrt{1.2} - 1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 3 ， S_{2} = 7$ ，则（）

A、 $a_{n} = 5 - n$ B、若 $a_{m} + a_{n} = a_{2} + a_{10}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{16}{n}$ 的最小值为 $\frac{25}{12}$ C、 $S_{n}$ 取最大值时， $n = 4$ 或 $n = 5$ D、若 $S_{n} > 0$ ， n的最大值为8

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10. 某保险公司为客户定制了 $5$ 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 $5$ 个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（）

A、 $54$ 周岁以上的参保人数最少 B、 $18 ～ 29$ 周岁人群参保的总费用最少 C、丁险种更受参保人青睐 D、 $30$ 周岁及以上的参保人数占总参保人数的 $20 %$

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11. 关于函数 $f (x) = s i n 2 x + \frac{1}{s i n 2 x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小值为2 B、 $f (x + \frac{π}{2})$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减

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12. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x - 1}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点（1，0）处的切线方程为 $x - y - 1 = 0$ B、 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{1}{e}$ C、当 $2 e^{2} \leq a < \frac{3 e^{3}}{2}$ 时， $f (x) < a (x - 2)$ 有且仅有一个整数解 D、当 $\frac{2}{3 e^{2}} \leq a < \frac{1}{2 e}$ 时， $f (x) < a (x - 2)$ 有且仅有一个整数解

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三、填空题

13. 已知 $\frac{a + 3 i}{1 + i}$ （i为虚数单位， $a \in R$ ）为纯虚数，则 $a =$ ．

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14. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ， $A B = 2$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为．

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15. 已知函数 $f (x) = (4 - x^{2}) (x^{2} + a x + b)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则 $f (x)$ 的最大值为．

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16. 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n + 1$ 的 $n + 1$ 个球的口袋中取出 $m$ 个球 $(0 < m \leq n ， m ， n \in N)$ ，共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法.在 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法中，不取 $1$ 号球有 $C_{n}^{m}$ 种取法；取 $1$ 号球有 $C_{n}^{m - 1}$ 种取法.所以 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ .试运用此方法，写出如下等式的结果： $C_{n}^{3} + C_{3}^{2} \cdot C_{n - 1}^{3} + C_{4}^{2} \cdot C_{n - 2}^{3} + ⋯ + C_{n - 2}^{2} \cdot C_{4}^{3} + C_{n - 1}^{2} =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图像，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{2 S_{n}}{n} = a_{n + 1} - 1$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $C_{n} = {\begin{array}{l} 2^{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} + 4 ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ．

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19. 在① $c c o s A = \sqrt{3} a s i n C$ ；② $(a - b) (s i n A + s i n B) = (c - \sqrt{3} b) s i n C$ ；③ $3 b c o s A + a c o s B = \sqrt{3} b + c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____．

(1)、求角A的大小；

(2)、若D为线段 $C B$ 延长线上的一点，且 $C B = 2 B D ， A D = \sqrt{3} ， A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为2的菱形， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ，侧面四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是矩形，且平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，点D是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、在棱AC上是否存在一点E，使得 $A D ∥$ 平面 $B_{1} C_{1} E$ ，并说明理由；

(2)、当三棱锥 $B - A_{1} D C_{1}$ 的体积为 $\sqrt{3}$ 时，求平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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21. 2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有 $\frac{1}{3}$ 的人只能赢取冰墩墩挂件，另外 $\frac{2}{3}$ 的人计划既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．

(1)、从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)、从顾客中随机抽取n人（ $n \in N^{*}$ ），记这n人的合计得分恰为 $n + 1$ 分的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{1} + P_{2} + ⋯ + P_{n}$ ；

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - (1 - a) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当a＝1时，若函数 $y = f (x) - e^{t} (l n x + t)$ 有两个零点，求实数t的取值范围．

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