江苏省苏州市张家港市2022-2023学年高三上学期数学12月阶段性调研试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）

A、 $\emptyset$ B、S C、T D、Z

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2. 若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角α以Ox为始边，且 $c o s α = \frac{2}{3}$ .把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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4. 若直线 $y = k_{1} (x + 1) - 1$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，直线 $y = k_{2} (x + 1) - 1$ 与曲线 $y = l n x$ 相切，则 $k_{1} k_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、e D、 $e^{2}$

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5. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ 满足 $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = 45 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ．由C点测得B点的仰角为 $15 °$ ， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100；由B点测得A点的仰角为 $45 °$ ，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、346 B、373 C、446 D、473

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + k l n x$ ，对任意的 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 2022$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $(\frac{1011}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{101 1^{2}}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{101 1^{2}}{2} ， + \infty)$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 6 0^{∘}$ ， $N$ 为线段 $B C$ 的中点， $M$ 为线段 $A C$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，两条直线 $A N$ 与 $B M$ 相交于点 $P$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ =（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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8. 在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 右支上的一个动点，若点M到直线 $x - y + 2 = 0$ 的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 设 $z \in C$ ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $| z - 1 | = | z + 1 |$ C、 $| z - 1 | = 2 | z + 1 |$ D、 $| z - 1 | + | z + 1 | = 2$

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10. 在棱长为2的正方体ABCD— $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 中，M为底面ABCD的中心，Q是棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点，且 $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}} ， λ \in [0 ， 1]$ ， N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）

A、CN与QM异面 B、三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟λ的取值无关 C、不存在λ使得 $A M ⊥ Q M$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为 $\frac{9}{2}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的偶函数，且 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $g (x)$ 关于点 $(2 ， 0)$ 中心对称 C、 $g (6) = 0$ D、 $g (1) = 0$

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12. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在[0，2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在有且仅有2个极小值点 C、 $ω$ 的取值范围是[ $\frac{19}{10}$ ， $\frac{12}{5}$ ） D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{12})$ 上单调递增

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ 为偶函数，则不等式 $f^{^{'}} (m - 2) + f^{^{'}} (4 - m^{2}) < 0$ 的解集为.

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14. 已知直线 $l ： a x + y - 1 = 0$ 是圆 $C$ $： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的对称轴，过点 $A (- 3 ， a)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M ， N$ ，则直线 $M N$ 的方程是.

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15. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = 1 ， ∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $△ A C D$ 为等边三角形，将 $△ A C D$ 沿边 $A C$ 折起，使得 $B D = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 外接球的体积为.

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16. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴上方），线段 $F_{1} B$ 与椭圆交于点 $M$ ， $M F_{2}$ 延长线与椭圆交于点 $N$ ，且 $| A M | = | B F_{1} | ， | M F_{2} | = 2 | F_{2} N |$ ，则椭圆的离心率为，直线 $A F_{1}$ 的斜率为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 3 b_{n - 1} + 2 (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ，且 $b_{1} = a_{1} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} (b_{n} + 1)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．

附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$

相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

独立性检验中的 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

(1)、设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为

\hat{y} = 1.5 x + 15

，且年龄x的方差为

s_{x}^{2} = 9

，评分y的方差为

s_{y}^{2} = 25

．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当

| r | \geq 0.75

时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．

(2)、现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将

2 \times 2

列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．

	好评	差评	合计
青年	16
中老年		12
合计		44	100

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19. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C = a + c$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点

(1)、若平面ABM与棱PC交于点N，求证：N是PC的中点；

(2)、求二面角A—PC—D的正切值.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于点A，B，经过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D.

(1)、①求OA，OB的斜率之积；②求|OA|·|OB|的取值范围；

(2)、求证：直线BD平行于抛物线的对称轴.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{- x^{2} + (a - 2) x + a - 3}{e^{x}} （ x > 0 ）$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，记 $h (x_{1} ， x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ，求 $h (x_{1} ， x_{2})$ 的取值范围.

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