江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $- 2 i$ D、 $i$

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2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 若 $t a n α = 4$ ，则 $s i n 2 α + c o s^{2} α$ 的值等于（）

A、 $- \frac{17}{9}$ B、 $\frac{17}{9}$ C、 $- \frac{9}{17}$ D、 $\frac{9}{17}$

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} ､ a_{6}$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $a_{4}$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 与圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，直线 $l$ 过点 $F$ 与双曲线交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B |$ 最小值为 $\frac{2 b^{2}}{a}$ ，则双曲线离心率取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， \sqrt{2})$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， \sqrt{2}]$

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7. 过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A ， B$ 两点，且点 $A$ 在第一象限，则当 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ 时，直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2$ ，动点 $P$ 在矩形 $A B C D$ 所在平面内，且满足 $\vec{A P} \cdot \vec{D P} = 3$ .若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m + n$ 的取值不可能为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为 $n$ .按照 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间 $[50 ， 60)$ 内的人数为16.则下列结论正确的有（）

A、样本容量 $n = 1000$ B、图中 $x = 0.030$ C、估计该市全体学生成绩的平均分为 $70.6$ 分 D、该市要对成绩由高到低前 $20 %$ 的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点 $P$ 在线段 $B D$ 上，则下述正确的有（）

A、 $C C_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成角为 $6 0^{∘}$ B、 $P C_{1} ⊥ A_{1} C$ C、二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、 $P C_{1}$ $∥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$

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11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球， $\dots$ .设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{6} = 56$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ C、 $a_{2023} = 1012 \times 2023$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2023}} = \frac{2023}{1012}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (2 > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $x = m (- 2 < m < 2)$ 与椭圆交于 $C ， D$ 两点， $A ， B$ 分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）

A、若直线 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A D$ 的斜率 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = \frac{4}{b^{2}}$ B、若有且仅有两个不同的实数 $m$ 使得 $△ C F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则 $b^{2} = 8 \sqrt{2} - 8$ C、 $\vec{C F_{1}} \cdot \vec{C F_{2}}$ 取值范围为 $[2 b^{2} - 4 ， b^{2})$ D、 $△ F_{1} C D$ 周长的最大值为8

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 3 n + 3$ ，则 ${a_{n}}$ 通项公式为.

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14. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为双曲线上一点，若 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| P F_{2} |$ 的取值为.

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C = 2 ， P B = P C = 2 \sqrt{2} ， ∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为.

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16. 在平面直角坐标系中，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，则四边形 $O A C B$ 面积最大值为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c c o s A + a c o s c + 2 b c o s A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 5 ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $a$ .

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18. 江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文､数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理､历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治､地理､化学､生物这4门再选科目中选择2门.已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学､生物至少1门.

(1)、从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

(2)、假设甲､乙､丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

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19. 如图， $P$ 是矩形 $A B C D$ 所在平面外一点， $A D = P A = P C = 2 ， A B = 2 \sqrt{2}$ 且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D ， E ， F$ 分别是线段 $A B ， P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $P A D$ 的距离.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n} - 2 a_{n} a_{n + 1} = 0 ， a_{n} > 0$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ .

(1)、求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ，且 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，判断并证明 ${S_{n}}$ 的单调性.

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21. 已知动圆 $E$ 过定点 $P (2 ， 0)$ ，且 $y$ 轴被圆 $E$ 所截得的弦长恒为4，直线 $l ： y = x + m$ .

(1)、求圆心 $E$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(4 ， 0)$ 且与 $E$ 的轨迹交于 $A ， B$ 两点，求 $∠ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）的大小；

(3)、若 $E$ 的轨迹上存在两点关于直线 $l$ 对称，求 $m$ 的取值范围.

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22. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆上顶点为 $B$ ，点 $P$ 为椭圆上任一点，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4 ， △ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，椭圆的离心率小于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，问：是否存在过原点的直线 $l$ ，使得 $l$ 与椭圆在第三象限的交点为 $A$ ，与直线 $B F_{2}$ 交于点 $C$ ，且满足 $\frac{| F_{2} C |}{| A C |} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} s i n ∠ C O F_{2}$ .若存在，求出 $l$ 的方程，不存在请说明理由.

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