浙江省舟山市金衢山五校联盟2022-2023学年九年级上学期12月质量监测数学试题卷

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）

1. 已知 $\frac{x}{y}$ ＝ $\frac{7}{3}$ ，那么 $\frac{x - y}{x + y}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、明天会下雨 B、任意画一个三角形，其内角和为 $180 °$ C、抛一枚硬币，正面朝上 D、打开电视机，正在播放广告

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3. 已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝-ax²的图象有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列命题是真命题的是（）

A、相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等 B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 C、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D、菱形的对角线互相平分且相等

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5. 如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的长为（）

A、π B、 $\frac{π}{2}$ C、7 D、6

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6. 如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（）

A、121.17 mm B、43.62 mm C、43.36 mm D、29.08 mm

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7. 如图所示，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，若边心距 $O H = \sqrt{3}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、1 D、4

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8. 如图，在平面直角坐标系中，等腰 $Rt △ A B C$ 与等腰 $R t △ D E F$ 是位似图形，且斜边垂直 $x$ 轴， $O$ 为位似中心， $∠ A B C = ∠ D E F = 90 °$ ， $O$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 五点共线，若 $S_{△ D E F}$ ： $S_{△ A B C} = 1$ ：2，点 $D$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则 $B$ 点的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ D、 $(2 ， 2)$

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9. 如图1，将正方形纸片 $A B C D$ 对折，使 $A B$ 与 $C D$ 重合，折痕为 $E F$ ．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为 $G H$ ，点B的对应点为点M， $E M$ 交 $A B$ 于N，则 $A E ： A N =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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10. 定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax² $+$ bx $+$ c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1 $-$ m，2 $-$ m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0.5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = \sqrt{3} B C$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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12. 一个分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 70 ° ， ∠ B = 55 °$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点E、F，则 $C F$ 弧的度数为°．

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14. 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝．

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15. 当 $1 \leq x \leq 4$ 时，直线 $y = m$ （m为常数）与抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是．

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16. 小明家的书房里装有一种节省空间的翻转式隐形床（如图1），不用的时候，可以通过翻转竖立起来隐藏在床箱（柜子）内．图2为床头部分侧面示意图，床绕床箱上的固定点O（转轴）旋转，AC，BC为可伸缩的气压杆，用来连接床和床箱（A、B为床架上固定点，C为床箱上的固定点）， $A B = 8 cm$ ．当床水平横卧时，气压杆AC与床架垂直，长为8cm（ $A C = 8 cm$ ）；当床竖立时，这条气压杆伸长至40cm（ $A^{'} C = 40 cm$ ），则另一条气压杆 $B^{'} C =$ ．

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三、解答题（本题共8小题，第17～19题每6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）

17.

(1)、计算： $2 \cos 60 ° - \sqrt{8} \sin 45 ° + \frac{\sqrt{12}}{\cos 30 °}$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $2 {(x + a)}^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ ，求关于 $x$ 的方程 $2 {(x - 4 + a)}^{2} + b = 0$ 的解．

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18. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0$ ， $- 4)$ ，点 $B (3$ ， $- 1)$ ，其顶点为 $C$ ． $P$ 为抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $m \leq x \leq 3$ 时，y的最大值为-1，最小值为-5，求 $m$ 的取值范围．

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19. 如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ，且点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ．

⑴画出 $△ O A B$ 向下平移3个单位后的 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ ；

⑵画出 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ O A_{2} B_{2}$ ，并求点B旋转到点 $B_{2}$ 所经过的路线长（结果保留 $π$ ）

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20. 如图所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $O D ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ 、 $D$ ．

(1)、若 $∠ A O D = 50 °$ ，求 $∠ D O B$ 的度数；

(2)、若 $A B ＝ 2 \sqrt{5}$ ， $E D = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径长；

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21. “校园十佳歌手比赛”预赛结束后，学校团委将此次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成统计表和频数直方图，部分信息如下：

十佳歌手预赛成绩分组统计表

组别	成绩x(分)	频数（人)	频率
A	59.5<x <69.5	5	0.1
B	69.5<x<79.5	m	n
C	79.5<x<89.5	18	0.36
D	89.5 <x <99	12	0.24

十佳歌手预赛成绩频数直方图

(1)、

m =

▲ ，

n =

▲ ，并补全频数直方图．

(2)、这些参赛选手的成绩的中位数将落在组（填代号）．

(3)、若此次比赛的前五名成绩中有2名男生和3名女生，如果从他们中任选2人作为获奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中1男1女的概率．

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22. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于 $《$ 墨子 $\cdot$ 备城门 $》$ ，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图， $O M$ 是垂直于水平地面的支撑杆， $O M = 3$ 米， $A B$ 是杠杆，且 $A B = 6$ 米， $O A ： O B = 2 ： 1$ ．当点A位于最高点时， $∠ A O M = 127 °$ ．

(1)、求点A位于最高点时到地面的距离；

(2)、当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A₁时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \sin 17.5 ° \approx 0.3 ， \tan 37 ° \approx 0.8$ ）

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23. 如图，在直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过原点，与 $x$ 轴交于点 $A (5 ， 0)$ ，点 $B (4 ， 2)$ 是抛物线上的一点，连接 $O B$ ，点C是 $O B$ 上的任意一点，它的横坐标为 $m$ ，过点C作 $C D ⊥ x$ 轴，与抛物线交于点 $D$ ，过点B作 $B E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ．

(1)、求直线 $O B$ 和抛物线的解析式；

(2)、设 $△ D O B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式．

(3)、当 $m$ 为何值时，四边形 $D C E B$ 是平行四边形？为什么？

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24. 定义：有两边之比为 $1 ： \sqrt{2}$ 的三角形叫做智慧三角形．

(1)、如图1，在智慧三角形 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， B C = 2 \sqrt{2} ， A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $\frac{A D}{A C}$ 的值；

(2)、如图2， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A C$ 为直径，过 $A B$ 的中点 $D$ 作 $D E ⊥ O A$ ，交线段 $O A$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．
①求证： $△ A B E$ 是智慧三角形；

②如图3，在（2）的条件下，当 $A F ： F G = 5 ： 3$ 时，则 $\frac{E G}{E F}$ ＝▲ ．（直接写出结果）

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