贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-12-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（）

A、y＝ $\frac{1}{x + 1}$ B、y＝ $\frac{1}{x^{2}}$ C、y＝- $\frac{1}{2 x}$ D、y＝- $\frac{x}{2}$

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3. 一只不透明的袋子里装有 $4$ 个黑球， $2$ 个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出 $3$ 个球，至少有 $1$ 个球是黑球”的事件类型是（）

A、随机事件 B、不可能事件 C、必然事件 D、无法确定

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4. 如果将抛物线y＝（x﹣2）²+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（　　）

A、y＝（x﹣3）²+4 B、y＝（x﹣1）²+4 C、y＝（x+1）²+2 D、y＝（x+1）²

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中， $C D$ 是直径， $A B$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于 $M$ ， $A B = 8$ ， $O C = 5$ ，则 $M D$ 的长为（）

A、4 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 正比例函数y＝2x和反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的一个交点为（1，2），则另一个交点为（）

A、（﹣1，﹣2） B、（﹣2，﹣1） C、（1，2） D、（2，1）

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7. 若点 $A (x_{1} ， 1) ， B (x_{2} ， - 2) ， C (x_{3} ， - 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$

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8. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$ ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）

A、(2，1) B、(2，0) C、(3，3) D、(3，1)

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9. 已知 $a b < 0$ ，一次函数 $y = a x - b$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 在同一直角坐标系中的图象可能（）

A、 B、 C、 D、

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10.
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A、3：4 B、9：16 C、9：1 D、3：1

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11. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ 上一动点，则△PMF周长的最小值是（）

A、5 B、9 C、11 D、13

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 与x轴、y轴分别交于点A和点 $B ， C$ 是线段 $A B$ 上一点，过点C作 $C D ⊥ x$ 轴，垂足为D ， $C E ⊥ y$ 轴，垂足为E ， $S_{△ B E C} ： S_{△ C D A} = 4 ： 1$ ．若双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过点C ，则k的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题

13. 已知： $y = (m - 2) x^{m^{2} - 5}$ 是反比例函数，则m= ．

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14.
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．

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15. 如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知函数 $y_{1} = \frac{3}{x} (x > 0)$ 和 $y_{2} = - \frac{1}{x} (x < 0)$ ，点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象于A，B两点，连接 $A N$ ， $B N$ ，则 $△ A B N$ 的面积为．

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三、解答题

17. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} - 2 x + 1 = 0$

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18. 如图，小方格都是边长为1的正方形， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)、画出位似中心点 $O$ ；

(2)、求出 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长比与面积比.

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19. 2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：

甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．

乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．

(1)、按如下分数段整理两班测试成绩

班级	70.5~75.5	75.5~80.5	80.5~85.5	85.5~90.5	90.5~95.5	95.5~100.5
甲	1	2	a	5	1	2
乙	0	3	3	6	2	1

表中 $a =$ ；

(2)、补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

(3)、两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	86	$x$	86	44.8
乙	86	88	y	36.7

表中 $x =$ ， $y =$ ．

(4)、以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班；

(5)、本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

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20. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且 $E F ⊥ F G$ 于F．

(1)、求证：△BEF∽△CFG；

(2)、若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．

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21. 如图，已知一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点A(-1，2)和点B.

(1)、求b和k的值；

(2)、请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x的不等式 $\frac{1}{2} x + b > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、若点P在y轴上一点，当 $P A + P B$ 最小时，求点P的坐标.

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22. 某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 $18 ℃$ 的条件下生长最快的新品种.下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内的温度 $y (℃)$ 随时间 $x$ （小时）变化的函数图象，其中 $B C$ 段是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

(1)、恒温系统在这天保持大棚内的温度 $18 ℃$ 的时间有小时；

(2)、 $k =$ ；

(3)、当棚内温度不低于 $16 ℃$ 时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长小时.

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23. 如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E.

(1)、求证：AE•CE＝BE•DE；

(2)、若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长.

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24. 数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片 $A B C D$ 折叠，使顶点 $A$ 落在边 $C D$ 上的点 $Р$ 处（点 $Р$ 与 $C$ ， $D$ 不重合），折痕为 $E F$ ，折叠后 $A B$ 边落在 $P Q$ 的位置， $P Q$ 与 $B C$ 交于点 $G$ .

(1)、观察操作结果，在图1中找到一个与 $△ D E P$ 相似的三角形，并证明你的结论；

(2)、当点 $Р$ 在边 $C D$ 的什么位置时， $△ D E P$ 与 $△ C P G$ 面积的比是 $9 ： 25$ ？请写出求解过程；

(3)、将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片 $A B C$ 折叠，使顶点 $A$ 落在边 $B C$ 上的点 $P$ 处（点 $P$ 与 $B$ ， $C$ 不重合），折痕为 $E F$ ，当点 $Р$ 在边 $B C$ 的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9∶25？请写出求解过程.

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25. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 交 $y$ 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 $y = m x + n$ 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一.

(1)、求抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的“伙伴函数”表达式；

(2)、若直线 $y = m x - 3$ 与抛物线 $y = x^{2} - 6 x + c$ 互为“伙伴函数”，求m与c的值；

(3)、设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 $(- k ， t)$ 且 $k t = 3$ ，它的一个“伙伴函数”表达式为 $y = 3 x + 6$ ，求该抛物线表达式，并确定在 $- 4 \leq x \leq 4$ 范围内该函数的最大值.

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