上海市黄浦区四校联考2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 4$ 顶点的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(2 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， - 4)$

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2. 小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）

A、45米 B、40米 C、90米 D、80米

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3. 在Rt△ $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，下列选项中，正确的是（）

A、 $\sin A = \frac{3}{5}$ B、 $\cos A = \frac{3}{5}$ C、 $\tan A = \frac{3}{5}$ D、 $\cot A = \frac{3}{5}$

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4. 在下列关于向量的等式中，正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{B C} + \vec{C A}$ B、 $\vec{A B} = \vec{C A} - \vec{B C}$ C、 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$ D、 $\vec{A B} = \vec{B C} - \vec{A C}$

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5. 在下列二次函数的图象中，在y轴左侧部分是上升的是（）

A、 $y = (x + 1)^{2} + 2$ B、 $y = - (x + 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ D、 $y = - (x - 1)^{2} + 2$

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6.
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）

A、 $\frac{A C}{A D}$ = $\frac{A B}{A E}$ B、 $\frac{A C}{A D}$ = $\frac{B C}{D E}$ C、 $\frac{A C}{A D}$ = $\frac{A B}{D E}$ D、 $\frac{A C}{A D}$ = $\frac{B C}{A E}$

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二、填空题

7. 如果 $\frac{m}{3} = \frac{n}{4}$ ，那么 $\frac{m}{n} =$ ．

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8. 已知点P是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > B P ， A B = 4 ，$ 那么 $A P =$ ．

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9. 如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为．

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10. 如果一个斜坡的坡角为 $30 °$ ，那么该斜坡的坡度 $i$ 为．

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11. 若将抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ 向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为．

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12. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 中线， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{B D}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D ， A C = 10$ ， $c o s C = \frac{3}{5}$ ，那么 $C D =$ ．

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14. 已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，那么 $\frac{S_{△ A B G}}{S_{Δ A B C}} =$

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15. 在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ， $A E = 3 ， D E = 2$ ，如果 $B C = C E$ ，那么BC= ．

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16. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{1}{3}$ ， $B E 、 C F$ 分别是 $A C 、 A B$ 边上的高，连接 $E F$ ，那么 $△ A E F$ 和 $△ A B C$ 的周长比为．

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17. 如图，已知在 $R t △ A B C$ 与 $R t △ C D B$ 中， $∠ A C B = ∠ C D B = 90 °$ ， $A C = B C ， C D = B D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，那么 $t a n ∠ C A P =$ ．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点 $E ， A E ⊥ D E ， A B = 4 ， A E = 3$ ， $s i n ∠ C D E = \frac{3}{5}$ ，那么 $C D =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{\sqrt{2}}{4} s i n 45 ° + c o s^{2} 30 ° - \frac{1}{2 - t a n 60 °} + 2 s i n 60 °$ ．

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20. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $D E$ $∥$ $B C$ ，过点 $D$ 作 $D F$ $∥$ $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A C$ ；

(2)、若 $A D ： B D = 2 ： 1$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ 、 $\vec{B E}$ （直接写出答案）．

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21. 如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，DA⊥AB，AC=12，BD=7，CD=9.

(1)、求证：△ACD∽△BCA；

(2)、求tan∠CAD的值.

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22. 2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A地出发．组织学生利用导航到C地区进行研学活动，出发时发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地24千米，由于A、C两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7， $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7)

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D 、 E$ 是边 $B C$ 上的两个点，且 $B D = D E = E C$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $A E$ 延长线于点 $F$ ，连接 $F D$ 并延长与 $A B$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $A B = 4 B G$ ；

(2)、连接 $A D$ ，如果 $∠ A D G ＝ ∠ B$ ，求证： $A C^{2} = 2 C D^{2}$ ．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ， $B (3 ， 3)$ 两点，点 $C$ 是抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求 $S_{Δ B O C}$ 的面积；

(3)、点 $B$ 关于抛物线的对称轴的对称点为点 $D$ ，点 $P$ 是平面内一点，若 $△ B O D ∽ △ C O P$ （点 $B$ 与点 $C$ 对应、点 $D$ 与点 $P$ 对应），求满足条件的点 $P$ 的坐标．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中 $A B = A C = 4$ ， $c o s ∠ B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 是边 $B A$ 延长线上过的点，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点（不与端点重合），连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D C$ ，且 $D E = D C$ ，设 $A D = x$ ， $E C = y$ ．

(1)、求证： $\frac{E F}{E D} = \frac{E C}{B C}$ ；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式及其定义域；

(3)、连接 $A E$ ，当 $△ A E F$ 与 $△ D F C$ 相似时，求 $A D$ 的长．

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