上海市黄浦区四校联考2022-2023学年八年级上学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2022-12-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{x}{3}}$ C、 $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$ D、 $\sqrt{a^{4} + a^{6}}$

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2. 下列各式运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{(- 4) \cdot (- 9)} = \sqrt{- 4} \cdot \sqrt{- 9} = (- 2) \cdot (- 3) = 6$ C、 $（ 2 \sqrt{10} - \sqrt{5} ） \div \sqrt{5} = 2 \sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} - \sqrt{4^{2}} = 1$

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3. 方程 $x^{2} + 6 x - 9 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有一个根为-1 D、没有实数根

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4. 下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）

A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B、等边三角形的面积和它的边长 C、长方形的一边长确定，它的周长与另一边长 D、长方形的一边长确定，它的面积与另一边长

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5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（）

A、等边三角形的三个内角都等于60° B、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 C、如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D、相等的两个角是对顶角

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6. 如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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二、填空题

7. 计算： $2 \sqrt{3} \times (- \sqrt{6}) =$ .

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8. 不等式 $\sqrt{3} x < \sqrt{2} x + 1$ 的解集是.

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9. 一元二次方程（x﹣5）²＝x﹣5的解为．

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10. 在实数范围内分解因式： $x^{2} - 2 x - 2 =$ .

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ，那么 $f (\sqrt{2}) =$ ．

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12. 为了降低药品的价格，物价部门对原价是a元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为元（用含a和x的代数式表示）．

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13. 如果正比例函数 $y = (m - 3) x$ 中， $y$ 的值随自变量 $x$ 的增大而减小，那么实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．

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15. 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ $△$ ACN≌ $△$ ABM；④CD＝DN．其中正确结论的序号是．

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16. 如图，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $22 °$ 得 $△ D B E$ ，若 $∠ C = 28 °$ ， $D E$ 边与 $B C$ 边交于点F，则 $∠ C F E$ ＝度．

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17. 如图，是反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{1} > k_{2})$ 在第一象限的图象，直线 $A B$ 平行于 $x$ 轴，并分别交两条曲线于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $S_{Δ A O B} = 4$ ，则 $k_{1} - k_{2}$ 的值是.

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18. 在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝°.

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{27 x} - 3 \sqrt{\frac{x}{3}} + 2 x \sqrt{\frac{3}{x}}$ ．

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20. 已知关于x的一元二次方程x²﹣mx﹣2＝0…①

(1)、若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

(2)、对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．

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21. 先化简： $\frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \sqrt{a b}$ ，再求当 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 时的值．

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22. 为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书.她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题：

(1)、图书馆到小燕家的距离是米；

(2)、a= ， b= ， m=；

(3)、妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是；定义域是.

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23. 如图，在已知 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线．

(1)、根据要求作图：在边 $A B$ 上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等．（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）

(2)、在第（1）小题所作的图中，求证： $D E ∥ A C$ ．

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24. 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．

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25. 如图，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图像上的一点 $A (m ， n)$ 在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且 $A B = A O$ ，过点B作 $B C ⊥ x$ 轴，与线段 $O A$ 的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D．

(1)、用含m的代数式表示点D的坐标；

(2)、求证： $C D = 3 B D$ ．

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26. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC= $α$ （ $0^{°} < α < 6 0^{°}$ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

(1)、如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

(3)、在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求 $α$ 的值．

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