2022年全国中考数学真题分类汇编20 圆（5）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 $\overset{⌢}{B C}$ 的长分别为（）

A、4， $\frac{π}{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ ， π C、2 $\sqrt{3}$ ， $\frac{4 π}{3}$ D、3 $\sqrt{3}$ ， 2π

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2. 如图，在等腰直角 $△ O A B$ 中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为 $π - 2$ ，则EF的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 4 ， ∠ B A C = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $2 α$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，连接 $B^{'} C$ 并延长交AB于点D，当 $B^{'} D ⊥ A B$ 时， $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{9} π$

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4. 如图，一件扇形艺术品完全打开后， $A B ， A C$ 夹角为 $120 °$ ， $A B$ 的长为 $45 c m$ ，扇面 $B D$ 的长为 $30 c m$ ，则扇面的面积是（）

A、375πcm² B、450πcm² C、600πcm² D、750πcm²

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5. 如图，PA，PB是 $⊙ O$ 的切线，A、B为切点，若 $∠ A O B = 128 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $52 °$ C、 $64 °$ D、 $72 °$

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6. 如图，已知正六边形 $A B C D E F$ 内接于半径为 $r$ 的 $⊙ O$ ，随机地往 $⊙ O$ 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2 π}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4 π}$ D、以上答案都不对

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7. 如图， $P A$ 、 $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ 、 $B$ ，连接 $P O$ 并延长与 $⊙ O$ 交于点 $C$ 、 $D$ ，若 $C D = 12$ ， $P A = 8$ ，则 $s i n ∠ A D B$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（）

A、10cm B、15cm C、20cm D、24cm

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9. 如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 是弧 $A C$ 上一动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），下列结论：① $∠ A D B = ∠ B D C$ ；② $D A = D C$ ；③当 $D B$ 最长时， $D B = 2 D C$ ；④ $D A + D C = D B$ ，其中一定正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\sqrt{3} - \frac{π}{4}$ B、 $2 \sqrt{3} - π$ C、 $\frac{(6 - π) \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \frac{π}{2}$

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11. 如图， $△ A B C$ 的重心为 $G$ ， $B C$ 的中点为 $D$ ，今以 $G$ 为圆心， $G D$ 长为半径画一圆，且作 $A$ 点到圆 $G$ 的两切线段 $A E$ 、 $A F$ ，其中 $E$ 、 $F$ 均为切点.根据图中标示的角与角度，求 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的度数和为多少？（）

A、30 B、35 C、40 D、45

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二、填空题

12. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= $°$ .

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13. 如图，A、B、C是 $⊙ O$ 上的点， $O C ⊥ A B$ ，垂足为点D，且D为OC的中点，若 $O A = 7$ ，则BC的长为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 80 °$ ，半径为3cm的 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，连接 $O B$ 、 $O C$ ，则图中阴影部分的面积是cm².（结果用含 $π$ 的式子表示）

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $A B = 8$ ， $B D$ 为弦，过点 $A$ 的切线与 $B D$ 的延长线交于点 $C$ ， $E$ 为线段 $B D$ 上一点（不与点 $B$ 重合），且 $O E = D E$ .

(1)、若 $∠ B = 35 °$ ，则 $\overset{⌢}{A D}$ 的长为（结果保留 $π$ ）；

(2)、若 $A C = 6$ ，则 $\frac{D E}{B E} =$ .

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的半径为3cm，C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B = 60 °$ ，则AB的长为cm．

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17. 已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．

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18. 若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为cm．

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19. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留 $π$ ）为．

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20. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

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21. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点 $O^{'}$ 处，得到扇形 $A^{'} O^{'} B^{'}$ .若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为.

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22. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A D C = 30 °$ ，则 $∠ B O C =$ 度.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，半径为1的 $⊙ O$ 在 $R t △ A B C$ 内平移（ $⊙ O$ 可以与该三角形的边相切），则点 $A$ 到 $⊙ O$ 上的点的距离的最大值为.

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三、综合题

25. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，AB是直径，延长AB到点E，使得 $B E = B C = 6$ ，连接EC，且 $∠ E C B = ∠ C A B$ ，点D是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F.

(1)、求证：EC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若BC平分 $∠ E C D$ ，求AD的长.

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AC为直径作 $⊙ O$ 交BC于点D，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，延长BA交 $⊙ O$ 于点F.

(1)、求证：DE是 $⊙ O$ 的切线

(2)、若 $\frac{A E}{D E} = \frac{2}{3} ， A F = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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27.

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 是 $\overset{⌢}{C E}$ 的中点，过点 $B$ 的切线与 $A C$ 的延长线交于点 $D$ .
①求证： $B D ⊥ A D$ ；
②若 $A C = 6$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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28. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D C E$ ；

(2)、当 $\overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{C B} ， ∠ D F E = 2 ∠ C D B$ 时，则 $\frac{A E}{B E} - \frac{D E}{C E} =$ ； $\frac{A F}{A B} + \frac{F E}{A D} =$ ； $\frac{1}{A B} + \frac{1}{A D} - \frac{1}{A F} =$ .（直接将结果填写在相应的横线上）

(3)、①记四边形ABCD， $△ A B E ， △ C D E$ 的面积依次为 $S ， S_{1} ， S_{2}$ ，若满足 $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ，试判断， $△ A B E ， △ C D E$ 的形状，并说明理由.
②当 $\overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{C B}$ ， $A B = m ， A D = n ， C D = p$ 时，试用含m，n，p的式子表示 $A E \cdot C E$ .

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29. 如图，△ABC内接于⊙O， $A D ∥ B C$ 交⊙O于点D， $D F ∥ A B$ 交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.

(1)、求证：AC＝AF；

(2)、若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长（结果保留π）.

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30. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， D是 $A B$ 边上一点，以 $B D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点E，连接 $D E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点F.

(1)、求证： $B F = B D$ ；

(2)、若 $C F = 1 ， t a n ∠ E D B = 2$ ，求 $⊙ O$ 直径.

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31. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.

(1)、试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若PC＝4，tanA＝ $\frac{1}{2}$ ，求△OCD的面积.

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32. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．

(1)、若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；

(2)、若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．

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33. 如图所示，在 $⊙ O$ 的内接 $△ A M N$ 中， $∠ M A N = 90 °$ ， $A M = 2 A N$ ，作 $A B ⊥ M N$ 于点P，交 $⊙ O$ 于另一点B，C是 $\overset{⌢}{A M}$ 上的一个动点（不与A，M重合），射线 $M C$ 交线段 $B A$ 的延长线于点D，分别连接 $A C$ 和 $B C$ ， $B C$ 交 $M N$ 于点E．

(1)、求证： $△ C M A ∽ △ C B D$ ．

(2)、若 $M N = 10$ ， $\overset{⌢}{M C} = \overset{⌢}{N C}$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、在点C运动过程中，当 $t a n ∠ M D B = \frac{3}{4}$ 时，求 $\frac{M E}{N E}$ 的值．

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34. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作 $C F ∥ A B$ ，且CF=CD，连接BF．

(1)、求证：BF是⊙O的切线；

(2)、若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．

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35. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点，以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ， $F G ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ .

(1)、求证： $F G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B G = 1$ ， $B F = 3$ ，求 $C F$ 的长.

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36. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x.

(1)、求证：DE是半圆O的切线；

(2)、当点E落在BD上时，求x的值；

(3)、当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；

(4)、直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围.

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37. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.

(1)、求证：∠BOC＋∠BAD＝90°.

(2)、实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 $\cos ∠ B A D = \frac{3}{5}$ .已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长.

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38. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $C O$ 的延长线于点 $F$ .

(1)、求证： $F D ∥ A B$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，求 $F D$ 的长.

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39. 如图，已知 $A B$ ， $C E$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B M$ 是 $⊙ O$ 的切线，点 $D$ 在 $E A$ 的延长线上， $A C$ ， $O D$ 交于点 $F$ ， $∠ M B C = ∠ A C D$

(1)、求证： $∠ M B C = ∠ B A C$ ；

(2)、求证： $A E = A D$ ；

(3)、若 $△ O F C$ 的面积 $S_{1} = 4$ ，求四边形 $A O C D$ 的面积 $S$ .

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40. 如图，点 $C$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $A B$ 的延长线上一点，在 $O A$ 上取一点 $F$ ，过点 $F$ 作 $A B$ 的垂线交 $A C$ 于点 $G$ ，交 $D C$ 的延长线于点 $E$ ，且 $E G = E C$ .

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点 $F$ 是 $O A$ 的中点， $B D = 4$ ， $s i n ∠ D = \frac{1}{3}$ ，求 $E C$ 的长.

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