2022年全国中考数学真题分类汇编20 圆（1）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ A O C = 160 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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2. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）

A、AE⊥DE B、AE//OD C、DE=OD D、∠BOD=50°

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4. 如图，在 $5 \times 6$ 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{24}$ C、 $\frac{\sqrt{10} π}{60}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{60}$

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5. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$

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6. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA ， PB分别与 $\overset{⌢}{A M B}$ 所在圆相切于点A ， B ．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则 $\overset{⌢}{A M B}$ 的长是（）

A、 $11 π$ cm B、 $\frac{11}{2} π$ cm C、 $7 π$ cm D、 $\frac{7}{2} π$ cm

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7. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， AD是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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8. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点C处，图中阴影部分的面积为（）

A、 $3 π - 3 \sqrt{3}$ B、 $3 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $2 π - 3 \sqrt{3}$ D、 $6 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

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9. 实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O₁与⊙O₂的半径为3米，且⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂ ．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）

A、4π米 B、6π米 C、8π米 D、12π米

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10. 正多边形的每个内角为 $108 °$ ，则它的边数是（）

A、4 B、6 C、7 D、5

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11. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，以 $A B$ 为直径的圆经过点 $C$ ， $D$ ，则 $c o s ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，将弦 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $A D$ ，此时点 $C$ 的对应点 $D$ 落在 $A B$ 上，延长 $C D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $C E = 4$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 π - 4$ D、 $2 π - 2 \sqrt{2}$

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13. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为 $12 c m$ ，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）

A、 $10 c m$ B、 $20 c m$ C、 $5 c m$ D、 $24 c m$

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14. 如图， $A B ， C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，E是劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B C$ ， $D E$ ．若 $∠ A B C = 22 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $22 °$ B、 $32 °$ C、 $34 °$ D、 $44 °$

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二、填空题

15. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是.（结果保留 $π$ ）

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16. 如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB= ．

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17. △ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

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18. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 $∠ B A C = 28 °$ ，则 $∠ D =$ °

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点，连接 $B C$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，连接 $O D$ .若 $∠ A O D = 82 °$ ，则 $∠ C =$ $°$ .

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C 、 D$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A D C = 58 °$ ，则 $∠ B A C =$ °.

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21. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 $l$ 为 $8 cm$ ，扇形的圆心角 $θ = 90 °$ ，则圆锥的底面圆半径 $r$ 为 $cm$ .

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22. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 为直径，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发，在 $△ A B C$ 内运动且始终保持 $∠ C B P = ∠ B A P$ ，当 $C$ ， $P$ 两点距离最小时，动点 $P$ 的运动路径长为．

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23. 如图，从一个边长是 $a$ 的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含 $π$ 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．

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24. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦．若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为．

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三、作图题

25. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及 $∠ D P F$ 的一边上的点E，F均在格点上．

(1)、线段 $E F$ 的长等于；

(2)、若点M，N分别在射线 $P D ， P F$ 上，满足 $∠ M B N = 90 °$ 且 $B M = B N$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．

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四、解答题

26. 如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是 $30 cm$ ，高为 $42.9 cm$ ．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径 $A B$ 、 $C D$ 以及 $\overset{⌢}{A C}$ 、 $\overset{⌢}{B D}$ 组成的轴对称图形，直线 $l$ 为对称轴，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $\overset{⌢}{A C}$ 、 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，如图2，他又画出了 $\overset{⌢}{A C}$ 所在的扇形并度量出扇形的圆心角 $∠ A E C = 66 °$ ，发现并证明了点 $E$ 在 $M N$ 上．请你继续完成 $M N$ 长的计算．
参考数据： $\sin 66 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\cos 66 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $\tan 66 ° \approx \frac{9}{4}$ ， $\sin 33 ° \approx \frac{11}{20}$ ， $\cos 33 ° \approx \frac{11}{13}$ ， $\tan 33 ° \approx \frac{13}{20}$ ．

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五、综合题

27. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ A C B = 60 °$ ， $A D$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ， $∠ A D B = 30 °$ .

(1)、判断直线 $B D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积.

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28. 已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.

(1)、如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；

(2)、在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(3)、如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于 $\frac{1}{2} C D • A B$ ，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.

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29. 如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.

(1)、求证 $△ C E D ∽ △ B A D$ ；

(2)、当 $D C = 2 A D$ 时，求CE的长.

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30. 如图，在△ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D.

(1)、判断直线 $A C$ 与⊙ $O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A B = 4$ ，求图中阴影部分的面积.

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31. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $M$ 均为格点.

(1)、【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段 $A B$ 、 $C D$ ，相交于点 $P$ 并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点 $E$ ，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.

在Rt△ABC中， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$

在Rt△CDE中，，

所以 $t a n ∠ B A C = t a n ∠ D C E$ .

所以∠ $B A C$ =∠ $D C E$ .

因为∠ $A C P +$ ∠ $D C E$ =∠ $A C B$ =90°，

所以∠ $A C P$ +∠ $B A C$ =90°，

所以∠ $A P C$ =90°，

即 $A B$ ⊥ $C D$ .

(2)、【拓展应用】如图②是以格点 $O$ 为圆心， $A B$ 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 $\overset{⌢}{B M}$ 上找出一点P，使 $\overset{⌢}{P M} = \overset{⌢}{A M}$ ，写出作法，并给出证明：

(3)、【拓展应用】如图③是以格点 $O$ 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 $A B$ 上找出一点P.使 $A M^{2}$ = $A P$ · $A B$ ，写出作法，不用证明.

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32. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ O A$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，交过点 $B$ 的直线于点 $C$ ，且 $C B = C P$ .

(1)、试判断直线 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $s i n A = \frac{\sqrt{5}}{5} ， O A = 8$ ，求 $C B$ 的长.

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33. 如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）.过点P的弦CD⊥AB，Q为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H.连接AD、BQ.

(1)、若m＝3.
①求证：∠OAD＝60°；

②求 $\frac{B Q}{D H}$ 的值；

(2)、用含m的代数式表示 $\frac{B Q}{D H}$ ，请直接写出结果；

(3)、存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ²﹣2DH²+PB²的值是一个定值，求此时∠Q的度数.

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34. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D ，$ 连接 $A C ， O D .$

(1)、求证： $∠ B O D = 2 ∠ A ；$

(2)、连接 $D B$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ D B ，$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $D O ，$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $F$ 为 $A C$ 的中点，求证：直线 $C E$ 为 $⊙ O$ 的切线．

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35. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (a ， b) ， N .$ 对于点 $P$ 给出如下定义：将点 $P$ 向右 $(a \geq 0)$ 或向左 $(a < 0)$ 平移 $| a |$ 个单位长度，再向上 $(b \geq 0)$ 或向下 $(b < 0)$ 平移 $| b |$ 个单位长度，得到点 $P'$ ，点 $P'$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$ ，称点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．

(1)、如图，点 $M (1 ， 1) ，$ 点 $N$ 在线段 $O M$ 的延长线上，若点 $P (- 2 ， 0) ，$ 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”．
①在图中画出点 $Q$ ；
②连接 $P Q ，$ 交线段 $O N$ 于点 $T .$ 求证： $N T = \frac{1}{2} O M ；$

(2)、 $⊙ O$ 的半径为1， $M$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，且 $O N = t (\frac{1}{2} < t < 1)$ ，若 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”，连接 $P Q .$ 当点 $M$ 在 $⊙ O$ 上运动时直接写出 $P Q$ 长的最大值与最小值的差（用含 $t$ 的式子表示）

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36. 已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 6$ ， C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C A ， C B$ ．

(1)、如图①，若C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，求 $∠ C A B$ 的大小和 $A C$ 的长；

(2)、如图②，若 $A C = 2 ， O D$ 为 $⊙ O$ 的半径，且 $O D ⊥ C B$ ，垂足为E，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $A C$ 的延长线相交于点F，求 $F D$ 的长．

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37. 如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若DE＝5，cos∠ABD＝ $\frac{4}{5}$ ，求OE的长．

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38. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的圆交边 $A B$ 于点 $D$ ，点 $C$ 在边 $O A$ 上且 $C D = A C$ ，延长 $C D$ 交 $O B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是圆的切线；

(2)、已知 $s i n ∠ O C D = \frac{4}{5}$ ， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，求 $A C$ 长度及阴影部分面积．

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39. 如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 外一点， $A C = B C$ ，连接 $O C$ ， $D F$ 是 $A C$ 的垂直平分线，交 $O C$ 于点 $F$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $A D$ 、 $C D$ ，且 $∠ D C A = ∠ O C A$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 6$ ， $O F = 4$ ，求 $c o s ∠ D A C$ 的值．

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40. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线，C为切点，D是 $⊙ O$ 上一点，过点D作 $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D F$ 交 $⊙ O$ 于点E，连接 $E O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点G，连接 $C G ， O C ， O D$ ，已知 $∠ D O E = 2 ∠ C G E$ ．

(1)、若 $⊙ O$ 的半径为5，求 $C G$ 的长；

(2)、试探究 $D E$ 与 $E F$ 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

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