2022年全国中考数学真题分类汇编19 四边形及多边形（4）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）

A、当 $t = 4 s$ 时，四边形ABMP为矩形 B、当 $t = 5 s$ 时，四边形CDPM为平行四边形 C、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ D、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ 或6s

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2. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 $A B C D$ ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A、四边形 $A B C D$ 周长不变 B、 $A D = C D$ C、四边形 $A B C D$ 面积不变 D、 $A D = B C$

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3. 如图，菱形 $A B C D$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在坐标轴上， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $A (- 3 ， 0)$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $O C$ 上的一动点，则 $P D + P E$ 的最小值是（）

A、3 B、5 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，点E，F分别在 $A D ， B C$ 边上， $E F ∥ A B ， A E = A B$ ， AF与 $B E$ 相交于点O，连接 $O C$ ，若 $B F = 2 C F$ ，则 $O C$ 与 $E F$ 之间的数量关系正确的是（）

A、 $2 O C = \sqrt{5} E F$ B、 $\sqrt{5} O C = 2 E F$ C、 $2 O C = \sqrt{3} E F$ D、 $O C = E F$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 是 $D A$ 中点， $F$ 是对角线 $A C$ 上一点，且 $∠ D E F = 45 °$ ，则 $A F ： F C$ 的值是（）

A、3 B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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6. 下列命题中，是真命题的有（）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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7. 如图，在 $▱$ ABCD中， $A D = B D$ ， $∠ A D C = 105^{\circ}$ ，点E在AD上， $∠ E B A = 60^{\circ}$ ，则 $\frac{E D}{C D}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 若顺次连接四边形 $A B C D$ 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 一定是（）

A、互相平分 B、互相垂直 C、互相平分且相等 D、互相垂直且相等

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9. 如图，在边长为2的等边三角形 $A B C$ 的外侧作正方形 $A B E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $5 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ， AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $A^{'}$ 对应直尺的刻度为0，则四边形 $A C C^{'} A^{'}$ 的面积是（）

A、96 B、 $96 \sqrt{3}$ C、192 D、 $160 \sqrt{3}$

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11. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 中，点E是边 $C D$ 的中点， $E F$ 垂直 $A B$ 交 $A B$ 的延长线于点F，若 $B F ： C E = 1 ： 2 ， E F = \sqrt{7}$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是（）

A、3 B、4 C、5 D、 $\frac{4}{5} \sqrt{7}$

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13. 矩形纸片 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠得到 $△ A F E$ ，连接 $C F$ .若 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、3 B、 $\frac{17}{5}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{18}{5}$

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二、填空题

14. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E在 $O B$ 上，连接 $A E$ ，点F为 $C D$ 的中点，连接 $O F$ ，若 $A E = B E$ ， $O E = 3$ ， $O A = 4$ ，则线段 $O F$ 的长为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A F = \frac{1}{4} A C$ ，连接 $E F$ ．若 $A C = 10$ ，则 $E F =$ ．

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16. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点D，E分别是 $A B ， A C$ 边上的中点，连接 $C D ， D E$ .如果 $A B = 5 m$ ， $B C = 3 m$ ，那么 $C D + D E$ 的长是m.

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18. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 8 ， B C = 6$ ，E，F分别是AD，AB的中点， $∠ A D C$ 的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 $△ P E F$ 的周长最小值为.

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19. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作 $E F ⊥ B E$ ，分别交 $C D ， B D$ 于点F、G，连接BF，交AC于点H，将 $△ E F H$ 沿EF翻折，点H的对应点 $H^{'}$ 恰好落在BD上，得到 $△ E F H^{'}$ 若点F为CD的中点，则 $△ E G H^{'}$ 的周长是.

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上， $A E = A F ， ∠ E A F = 30 °$ ，则 $∠ A E B =$ $°$ ；若 $△ A E F$ 的面积等于1，则 $A B$ 的值是.

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E$ // $A C$ ， $C E$ // $B D$ .若 $A C = 10$ ，则四边形 $O C E D$ 的周长是.

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三、解答题

22. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E，G，H，F分别是 $A B ， B C ， C D ， D A$ 上的点，且 $B E = D H ， A F = C G$ .求证： $E F = H G$ .

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四、综合题

23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，垂足为 $O$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $M F ∥ A D$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M N$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $O N$ 的长.

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C ， B D$ 交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 在 $A C$ 上， $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $E B F D$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ D A C ，$ 求证：四边形 $E B F D$ 是菱形．

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25. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F$ 交正方形外角的平分线 $C F$ 于点 $F$ ．求证 $A E = E F$ ．（提示：取 $A B$ 的中点 $G$ ，连接 $E G$ ．）

(1)、请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2)、如图1，若点 $E$ 是 $B C$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），其他条件不变．求证： $A E = E F$ ；

(3)、在（2）的条件下，连接 $A C$ ，过点 $E$ 作 $E P ⊥ A C$ ，垂足为 $P$ ．设 $\frac{B E}{B C} = k$ ，当 $k$ 为何值时，四边形 $E C F P$ 是平行四边形，并给予证明．

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26. 已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E是边 $A D$ 上一点，连接 $B E ， C E ， O E$ ，且 $B E = C E$ ．

(1)、如图1，求证： $△ B E O ≌ △ C E O$ ；

(2)、如图2，设 $B E$ 与 $A C$ 相交于点F， $C E$ 与 $B D$ 相交于点H，过点D作 $A C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ $△ A E F$ 除外），使写出的每个三角形的面积都与 $△ A E F$ 的面积相等．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 6 c m$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动．以 $P A$ 为一边作 $∠ A P Q = 120 °$ ，另一边 $P Q$ 与折线 $A C - C B$ 相交于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边作菱形 $P Q M N$ ，点 $N$ 在线段 $P B$ 上．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ，菱形 $P Q M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $y (c m^{2})$ ．

(1)、当点 $Q$ 在边 $A C$ 上时， $P Q$ 的长为 $c m$ ；（用含 $x$ 的代数式表示）

(2)、当点 $M$ 落在边 $B C$ 上时，求 $x$ 的值；

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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28. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是一条对角线，且 $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 是 $A D$ 边上两点，点 $F$ 在点 $E$ 的右侧， $A E = D F$ ，连接 $C E$ ， $C E$ 的延长线与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ．

(1)、如图1， $M$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ， $M F$ ， $M F$ 与 $C E$ 相交于点 $N$ ．
①若 $A E = \frac{3}{2}$ ，求 $A G$ 的长；
②在满足①的条件下，若 $E N = N C$ ，求证： $A M ⊥ B C$ ；

(2)、如图2，连接 $G F$ ， $H$ 是 $G F$ 上一点，连接 $E H$ ．若 $∠ E H G = ∠ E F G + ∠ C E F$ ，且 $H F = 2 G H$ ，求 $E F$ 的长．

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29. 如图，已知四边形ABCD为矩形 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ ，点E在BC上， $C E = A E$ ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.

(1)、求EF的长；

(2)、求sin∠CEF的值.

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30. 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.

求证：

(1)、△DOF≌△BOE；

(2)、DE=BF.

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31. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ，点E是 $D C$ 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 $A F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点F，设 $D E = a$ ．

(1)、求 $B F$ 的长（用含a的代数式表示）；

(2)、连接 $E F$ 交 $A B$ 于点G，连接 $G C$ ，当 $G C // A E$ 时，求证：四边形 $A G C E$ 是菱形．

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32. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且 $E D = B F$ ，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.

(1)、求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)、若AC平分 $∠ F A E ， A C = 8$ ， $\tan ∠ D A C = \frac{3}{4}$ ，求四边形AFCE的面积.

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33. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，BD是它的一条对角线，

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ C D B$ ；

(2)、尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、连接BE，若 $∠ D B E = 25 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数.

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34. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $A$ 在 $D E$ 上.
求证：以 $A E$ 、 $A D$ 、 $A C$ 为边的三角形是钝角三角形.

(1)、【探究发现】小明通过探究发现：连接 $D C$ ，根据已知条件，可以证明 $D C = A E$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，从而得出 $△ A D C$ 为钝角三角形，故以 $A E$ 、 $A D$ 、 $A C$ 为边的三角形是钝角三角形.
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

(2)、【拓展迁移】如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $B G F E$ 都是正方形，点 $A$ 在 $E G$ 上.
①试猜想：以 $A E$ 、 $A G$ 、 $A C$ 为边的三角形的形状，并说明理由.
②若 $A E^{2} + A G^{2} = 10$ ，试求出正方形 $A B C D$ 的面积.

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35. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F$ .请从以下三个条件：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $D E = D F$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为菱形.

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加了条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为菱形.

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36. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD相交于点O， $A B = A D$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF， $E F = \frac{3}{2} ， A O = 2$ ，求BD的长及四边形ABCD的周长.

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37. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 8$ ，点P在边 $B C$ 上，且不与点B、C重合，直线 $A P$ 与 $D C$ 的延长线交于点E.

(1)、当点P是 $B C$ 的中点时，求证： $△ A B P ≌ △ E C P$ ；

(2)、将 $△ A P B$ 沿直线 $A P$ 折叠得到 $△ A P B^{'}$ ，点 $B^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的内部，延长 $P B^{'}$ 交直线 $A D$ 于点F.
①证明 $F A = F P$ ，并求出在（1）条件下 $A F$ 的值；
②连接 $B^{'} C$ ，求 $△ P C B^{'}$ 周长的最小值；
③如图2， $B B^{'}$ 交 $A E$ 于点H，点G是 $A E$ 的中点，当 $∠ E A B^{'} = 2 ∠ A E B^{'}$ 时，请判断 $A B$ 与 $H G$ 的数量关系，并说明理由.

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38. 如图，BD是矩形ABCD的对角线.

(1)、求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G，求 $t a n ∠ A D B$ 的值.

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39. 已知 $△ A B C ≌ △ D E C$ ， AB＝AC，AB＞BC.

(1)、如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

(2)、如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

(3)、如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 $∠ B A D = ∠ B C D$ ，求∠ADB的度数.

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40. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD.

(1)、求证：DF=CF；

(2)、若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积.

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