2022年全国中考数学真题分类汇编19 四边形及多边形（3）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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2. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A、测量两条对角线是否相等 B、度量两个角是否是90° C、测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D、测量两组对边是否分别相等

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3. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点M，N分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点， $∠ B A C = ∠ M A N = 60 °$ ，连接 $M N 、 O M$ .以下四个结论正确的是（）
① $△ A M N$ 是等边三角形；② $M N$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ；③当 $M N$ 最小时 $S_{△ C M N} = \frac{1}{8} S_{菱形 A B C D}$ ；④当 $O M ⊥ B C$ 时， $O A^{2} = D N \cdot A B$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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4. 如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1.5 D、 $\sqrt{5}$

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5. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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6. 下列说法正确的是（）

A、对角线相等的四边形是矩形. B、相似三角形的面积的比等于相似比. C、方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

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7. 如图，将菱形纸片沿着线段 $A B$ 剪成两个全等的图形，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、40° B、60° C、80° D、100°

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8. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN.若 $A D = 4$ ， $A B = 2$ .则四边形MBND的周长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、20

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二、填空题

11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A B$ 的中点， $C E$ ， $B D$ 交于点 $H$ ， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $F M$ 平分 $∠ D F E$ ，分别交 $A D$ ， $B D$ 于点 $M$ ， $G$ ，延长 $M F$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $B F$ ．下列结论：① $t a n ∠ C D F = \frac{1}{2}$ ；② $S_{△ E B H} ： S_{△ D H F} = 3 ： 4$ ；③ $M G ： G F ： F N = 5 ： 3 ： 2$ ；④ $△ B E F ∽ △ H C D$ ．其中正确的是．（填序号即可）．

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $O B$ 中点， $F$ 为 $A D$ 中点，连接 $E F$ ，则 $E F$ 的长为．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．若 $A B = 6$ ，则 $△ A E F$ 的面积为．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2 $\sqrt{3}$ ， DC＝4 $\sqrt{3}$ ，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是．

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15. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃.若正方形EFGH的边长为4，则S₁+S₂+S₃＝.

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16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .

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17. 如图，将一个边长为 $20 c m$ 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形 $A B C D$ ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到 $36 c m$ 时才会断裂.若 $∠ B A D = 60 °$ ，则橡皮筋 $A C$ 断裂（填“会”或“不会”，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）.

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ A B C = 90 °$ ， $D B$ 平分 $∠ A D C$ .若 $A D = 1$ ， $C D = 3$ ，则 $s i n ∠ A B D =$ .

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19. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF= $\sqrt{6}$ ，则BD的长为（结果保留很号）.

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20. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为.

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21. 正六边形一个外角的度数为.

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22. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 .

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三、作图题

23. 已知四边形 $A B C D$ 为矩形.点E是边 $A D$ 的中点.请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)、在图1中作出矩形 $A B C D$ 的对称轴m，使 $m ∥ A B$ ；

(2)、在图2中作出矩形 $A B C D$ 的对称轴n：使 $n ∥ A D$ .

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四、解答题

24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，且 $B E = D F$ ， $∠ A B D = ∠ B D C$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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25. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， $C E ⊥ B G$ 于点E， $D F ⊥ C E$ 于点F.求证： $D F = B E + E F$ .

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五、综合题

26. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B < B C$ ．点D是 $A C$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点E.延长 $E D$ 至点F，使得 $D F = D E$ ，连接 $A E$ 、 $A F$ 、 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $\frac{B E}{E C} = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n ∠ B C F$ 的值为．

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27. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = B D = \sqrt{13}$ ，点M为边 $A B$ 的中点，动点P从点A出发，沿折线 $A D - D B$ 以每秒 $\sqrt{13}$ 个单位长度的速度向终点B运动，连结 $P M$ ．作点A关于直线 $P M$ 的对称点 $A ′$ ，连结 $A^{'} P$ 、 $A^{'} M$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、点D到边 $A B$ 的距离为；

(2)、用含t的代数式表示线段 $D P$ 的长；

(3)、连结 $A^{'} D$ ，当线段 $A^{'} D$ 最短时，求 $△ D P A^{'}$ 的面积；

(4)、当M、 $A ′$ 、C三点共线时，直接写出t的值．

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28. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $A B C D$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $A D = \sqrt{2} A B$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $A D$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $A F$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $E F$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $F G$ ；然后连结 $A G$ ，沿 $A G$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ A D G ≌ △ A F G$ ．

(1)、【问题解决】
小亮对上面 $△ A D G ≌ △ A F G$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $A B C D$ 是矩形，

∴ $∠ B A D = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

由折叠可知， $∠ B A F = \frac{1}{2} ∠ B A D = 45 °$ ， $∠ B F A = ∠ E F A$ ．

∴ $∠ E F A = ∠ B F A = 45 °$ ．

∴ $A F = \sqrt{2} A B = A D$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2)、【结论应用】
$∠ D A G$ 的度数为度， $\frac{F G}{A F}$ 的值为；

(3)、在图①的条件下，点P在线段 $A F$ 上，且 $A P = \frac{1}{2} A B$ ，点Q在线段 $A G$ 上，连结 $F Q$ 、 $P Q$ ，如图②，设 $A B = a$ ，则 $F Q + P Q$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

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29. 已知点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上，正方形 $A F E G$ 与正方形 $A B C D$ 有公共点 $A$ ．

(1)、如图1，当点 $G$ 在 $A D$ 上， $F$ 在 $A B$ 上，求 $\frac{2 C E}{\sqrt{2} D G}$ 的值为多少；

(2)、将正方形 $A F E G$ 绕 $A$ 点逆时针方向旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，如图2，求： $\frac{C E}{D G}$ 的值为多少；

(3)、 $A B = 8 \sqrt{2}$ ， $A G = \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ，将正方形 $A F E G$ 绕 $A$ 逆时针方向旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，当 $C$ ， $G$ ， $E$ 三点共线时，请直接写出 $D G$ 的长度．

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30. $△ A B C$ 和 $△ A D F$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $A B 、 B C$ 运动，运动到点B、C停止.

(1)、如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $C D 、 E F$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当点D运动到什么位置时，四边形 $C E F D$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $B D E F$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

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31. 如图， $▱ A B C D$ 中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF.

(1)、求证：△ABE≌△CDF；

(2)、求证：四边形AECF是平行四边形.

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32. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.

(1)、当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)、若 $\frac{E F}{B F}$ ＝2，求 $\frac{A N}{N D}$ 的值；

(3)、若MN∥BE，求 $\frac{A N}{N D}$ 的值.

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33. 小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
如图，在 $□ A B C D$ 中， $A N$ 为 $B C$ 边上的高， $\frac{A D}{A N} = m$ ，点 $M$ 在 $A D$ 边上，且 $B A = B M$ ，点 $E$ 是线段 $A M$ 上任意一点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折得 $△ F B E$ .

(1)、问题解决：
如图①，当 $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，使点 $F$ 与点 $M$ 重合，则 $\frac{A M}{A N} =$ ；

(2)、问题探究：
如图②，当 $∠ B A D = 45 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，使 $E F ∥ B M$ ，求 $∠ A B E$ 的度数，并求出此时 $m$ 的最小值；

(3)、拓展延伸：
当 $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折后，若 $E F ⊥ A D$ ，且 $A E = M D$ ，根据题意在备用图中画出图形，并求出 $m$ 的值.

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34. 在四边形 $A B C D$ 中， $O$ 是边 $B C$ 上的一点.若 $△ O A B ≌ △ O C D$ ，则点 $O$ 叫做该四边形的“等形点”.

(1)、正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

(2)、如图，在四边形 $A B C D$ 中，边 $B C$ 上的点 $O$ 是四边形 $A B C D$ 的“等形点”.已知 $C D = 4 \sqrt{2}$ ， $O A = 5$ ， $B C = 12$ ，连接 $A C$ ，求 $A C$ 的长；

(3)、在四边形 $E F G H$ 中，EH//FG.若边 $F G$ 上的点 $O$ 是四边形 $E F G H$ 的“等形点”，求 $\frac{O F}{O G}$ 的值.

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35. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，记 $△ C O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S_{2}$ .

(1)、问题解决：如图①，若AB//CD，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{O C \cdot O D}{O A \cdot O B}$

(2)、探索推广：如图②，若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)、拓展应用：如图③，在 $O A$ 上取一点E，使 $O E = O C$ ，过点E作 $E F ∥ C D$ 交 $O D$ 于点F，点H为 $A B$ 的中点， $O H$ 交 $E F$ 于点G，且 $O G = 2 G H$ ，若 $\frac{O E}{O A} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 值.

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36. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

(1)、求证：AF与DE互相平分；

(2)、当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

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37. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.

(1)、求证：△ABE≌△CDF；

(2)、若AB＝3 $\sqrt{2}$ ， BE＝2，求四边形AECF的面积.

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38. 如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE.

(1)、求证：BE＝DF；

(2)、求证： $△$ ABE≌ $△$ CDF.

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39. 将正方形 $A B C D$ 和菱形 $E F G H$ 按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形 $E F G H$ 的对角线 $H F$ 经过点B，点E，G分别在 $A B$ ， $B C$ 上.

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D G$ ；

(2)、若 $A E = B E = 2$ ，求 $B F$ 的长.

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40. 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)、【问题一】如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $G$ 、 $H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为8，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 6$ ， $C E = 2$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，求出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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