2022年全国中考数学真题分类汇编19 四边形及多边形（2）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，分别以 $C$ 、 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ ，若直线 $M N$ 恰好过点 $A$ 与边 $C D$ 交于点 $E$ ，连接 $B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ B C D = 120 °$ B、若 $A B = 3$ ，则 $B E = 4$ C、 $C E = \frac{1}{2} B C$ D、 $S_{△ A D E} = \frac{1}{2} S_{△ A B E}$

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2. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ ，则图象最低点E的坐标为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， 2)$

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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $O E =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，四边形 $ABCD$ 的内角和等于（）

A、 $180 °$ B、 $270 °$ C、 $360 °$ D、 $540 °$

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5. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知 $∠ A B C = 36 °$ ，则 $∠ D_{1} A D =$ （）

A、48° B、66° C、72° D、78°

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6. 如图，菱形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ， ∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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7. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 ， ∠ A B C = 60 °$ ， M是对角线BD上的一个动点， $C F = B F$ ，则 $M A + M F$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（）

A、AF＝CF B、∠FAC＝∠EAC C、AB＝4 D、AC＝2AB

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9. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）

A、AB＝AD B、AC⊥BD C、AC＝BD D、∠DAC＝∠BAC

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11. 下列说法错误的是（）

A、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B、同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C、对角线相等的四边形是矩形 D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

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二、填空题

12. 一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则EF= ．

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14. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 $△ C D E$ 沿DE翻折得到 $△ F D E$ ，点F落在AE上．若 $C E = 3 cm$ ， $A F = 2 E F$ ，则 $A B =$ cm．

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15. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝．

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16. 如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 $\sqrt{5}$ ﹣2 $\sqrt{3}$ ．其中正确的是．（请填写序号）

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17. 如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则 $n =$ ．

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18. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是．

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19. 如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为；当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为

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20. 如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为

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21. 如图，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使得 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点B，得到折痕 $B M$ ．连接 $M F$ ，若 $M F ⊥ B M$ ， $A B = 6 c m$ ，则 $A D$ 的长是 $c m$ ．

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22. 如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．

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23. 如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ $\frac{2}{5}$ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝.

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = \sqrt{2} ， A D = 3$ ，点E为边 $B C$ 上一点，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，点C的对应点为点F，过点F作 $D E$ 的平行线交 $A D$ 于点G，交直线 $B C$ 于点H．若点G是边 $A D$ 的三等分点，则 $F G$ 的长是．

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25. 如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形 $A B C O$ 绕原点O逆时针旋转 $75 °$ ，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点 $B^{″}$ 的坐标为．

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三、解答题

26. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

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27. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点E，F分别在 $A B ， A D$ 上， $A E = A F$ ．求证 $C E = C F$ ．

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28. 如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且 $A E = C F$ ，连接BF.FD，DE，EB.

求证：四边形DEBF是菱形.

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29. 如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE $∥$ DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．

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四、综合题

30. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是 $△ A B C$ 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

(1)、由作图可知，直线MN是线段AD的．

(2)、求证：四边形AEDF是菱形．

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31. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)、判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)、①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

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32. 在平面直角坐标系中， $P (a ， b)$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $k_{1} = \frac{a}{b}$ 和 $k_{2} = \frac{b}{a}$ 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

(1)、求点 $P (6 ， 2)$ 的“倾斜系数”k的值；

(2)、①若点 $P (a ， b)$ 的“倾斜系数” $k = 2$ ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 $P (a ， b)$ 的“倾斜系数” $k = 2$ ，且 $a + b = 3$ ，求OP的长；

(3)、如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： $y = x$ 运动， $P (a ， b)$ 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” $k < \sqrt{3}$ ，请直接写出a的取值范围．

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33. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ，EP与正方形的外角 $△ D C G$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接CP，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B = 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

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34. 已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)、如图1，当 $\frac{A D}{A B}$ ＝ $\frac{A G}{A E}$ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

(2)、如图2，当 $\frac{A D}{A B}$ ＝ $\frac{A G}{A E}$ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ $\sqrt{5}$ ， ∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

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35. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)、求BD的长；

(2)、点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE= $\sqrt{3}$ DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ $\sqrt{3}$ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ $\sqrt{3}$ CF的最小值；如果不是，请说明理由．

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36. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

(1)、求证： $△ D C E ≌ △ B C E$ ；

(2)、求证： $∠ A F D = ∠ E B C$ ．

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37. 平行四边形 $A B C D$ ，若 $P$ 为 $B C$ 中点， $A P$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、若 $A E = C E$ ，
①证明 $A B C D$ 为菱形；

②若 $A B = 5$ ， $A E = 3$ ，求 $B D$ 的长．

(2)、以 $A$ 为圆心， $A E$ 为半径， $B$ 为圆心， $B E$ 为半径作圆，两圆另一交点记为点 $F$ ，且 $C E = \sqrt{2} A E$ ．若 $F$ 在直线 $C E$ 上，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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38.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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39. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 $E F ⊥ C E$ ，交AB于点F.

(1)、求证： $△ A E F ∽ △ D C E$ ；

(2)、如图2，连接CF，过点B作 $B G ⊥ C F$ ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 $A G + G M$ 的最小值；

②当 $A G + G M$ 取最小值时，求线段DE的长.

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40. 如图， $△ A B C$ 中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作 $C F ∥ A B$ ，交DE的延长线于点F．

(1)、求证： $A D = C F$ ；

(2)、连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

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