2022年全国中考数学真题分类汇编19 四边形及多边形（1）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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2. 如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 上，连接 $D B^{'}$ ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则 $∠ A D B^{'}$ 的度数为（）

A、50° B、60° C、80° D、90°

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3. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A、若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B、若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C、若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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5. 如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）

A、三角形 B、梯形 C、正方形 D、五边形

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6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 $\sqrt{3}$ ，则CD的长为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $A F ⊥ x$ 轴，垂足为F．若 $O E = 3$ ， $E F = 1$ ．以下结论正确的个数是（）
① $O A = 3 A F$ ；②AE平分 $∠ O A F$ ；③点C的坐标为 $(- 4 ， - \sqrt{2})$ ；④ $B D = 6 \sqrt{3}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $24 \sqrt{2}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）

A、24 B、22 C、20 D、18

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9. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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10. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ $\sqrt{3}$ ．则四边形EFGH的周长为（）

A、 $4 (2 + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)$ C、 $8 (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ D、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2)$

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二、填空题

11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C A ⊥ A B$ ，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是.

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12. 如图，以 $△ A B C$ 的三边为边在 $B C$ 上方分别作等边 $△ A C D$ 、 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ .且点A在 $△ B C F$ 内部.给出以下结论：
①四边形 $A D F E$ 是平行四边形；
②当 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是矩形；
③当 $A B = A C$ 时，四边形 $A D F E$ 是菱形；
④当 $A B = A C$ ，且 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是正方形.
其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

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13. 如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为米．

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14. 小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）

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15. 如图，点O是正方形 $A B C D$ 的中心， $A B = 3 \sqrt{2}$ ． $R t △ B E F$ 中， $∠ B E F = 90 ° ， E F$ 过点D， $B E ， B F$ 分别交 $A D ， C D$ 于点G，M，连接 $O E ， O M ， E M$ ．若 $B G = D F ， \tan ∠ A B G = \frac{1}{3}$ ，则 $△ O E M$ 的周长为．

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16. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为4， $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ A F$ ，交 $A F$ 于点 $H$ ，交 $B F$ 于点 $G$ ， $N$ 为 $E F$ 的中点， $M$ 为 $B D$ 上一动点，分别连接 $M C$ ， $M N$ ．若 $\frac{S_{△ D C G}}{S_{△ F C E}} = \frac{1}{9}$ ，则 $M C + M N$ 的最小值为．

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17. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ $\frac{1}{3}$ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．

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18. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H． $E N = 2$ ， $A B = 4$ ，当点H为GN三等分点时，MD的长为．

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19. 矩形ABCD中， $A B = 8$ ， $A D = 7$ ，点E在AB边上， $A E = 5$ ．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．

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三、作图题

20. 如图，是边长为 $1$ 的小正方形组成的 $8 \times 8$ 方格，线段 $A B$ 的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为 $(2 ， 1)$ 和 $(- 1 ， 3)$ ．

⑴画出该平面直角坐标系 $x O y$ ；

⑵画出线段 $A B$ 关于原点 $O$ 成中心对称的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

⑶画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）

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四、解答题

21. 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为 $(n - 2) \cdot 180 °$ ”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形 $A B C D E$ 的内角和为540°.

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22. 【阅读材料】

老师的问题：

已知：如图， $A E ∥ B F$ ．

求作：菱形 $A B C D$ ，使点C，D分别在 $B F ， A E$ 上．

小明的作法：

（1）以A为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $A E$ 于点D；

（2）以B为圆心， $A B$ 长为半经画弧，交 $B F$ 于点C；

（3）连接 $C D$ ．

四边形 $A B C D$ 就是所求作的菱形，

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形 $A B C D$ 是菱形．

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五、综合题

23. 如图，已知线段 $A C$ 和线段 $a$ .

(1)、用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $l$ ，交线段 $A C$ 于点 $O$ ；

②以线段 $A C$ 为对角线，作矩形 $A B C D$ ，使得 $A B = a$ ，并且点 $B$ 在线段 $A C$ 的上方.

(2)、当 $A C = 4$ ， $a = 2$ 时，求（1）中所作矩形 $A B C D$ 的面积.

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24. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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25. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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26. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．

(1)、求证：△ABE≌△FCE；

(2)、若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．

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27. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)、△ABE≌△CDF；

(2)、四边形AECF是平行四边形．

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28. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\frac{1}{2}$ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1)、若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

(2)、若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

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29. 已知，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $A D$ 上．

(1)、如图1，当四边形 $E F G H$ 是正方形时，求证： $A E + A H = A B$ ；

(2)、如图2，已知 $A E = A H$ ， $C F = C G$ ，当 $A E$ 、 $C F$ 的大小有关系时，四边形 $E F G H$ 是矩形；

(3)、如图3， $A E = D G$ ， $E G$ 、 $F H$ 相交于点 $O$ ， $O E ： O F = 4 ： 5$ ，已知正方形 $A B C D$ 的边长为16， $F H$ 长为20，当 $△ O E H$ 的面积取最大值时，判断四边形 $E F G H$ 是怎样的四边形？证明你的结论．

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30. 矩形ABCD中，

\frac{A B}{B C}

＝

\frac{k}{2}

（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\frac{1}{2}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)、【类比探究】如图（2），当k≠2时，求

\frac{A E}{E F}

的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，

P F = \sqrt{5}

，求BC的长．

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31. 如图，四边形 $A B C D$ 中，AB $∥$ DC， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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32. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B C = 10 ， B C$ 边上的高 $A M = 4$ ，点E为 $B C$ 边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线 $A B$ 的垂线，垂足为F，连接 $D E 、 D F$ ．

(1)、求证： $△ A B M ∽ △ E B F$ ；

(2)、当点E为 $B C$ 的中点时，求 $D E$ 的长；

(3)、设 $B E = x ， △ D E F$ 的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

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33. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 3$ ，点E在折线 $B C D$ 上运动，将 $A E$ 绕点A顺时针旋转得到 $A F$ ，旋转角等于 $∠ B A C$ ，连接 $C F$ ．

(1)、当点E在 $B C$ 上时，作 $F M ⊥ A C$ ，垂足为M，求证 $A M = A B$ ；

(2)、当 $A E = 3 \sqrt{2}$ 时，求 $C F$ 的长；

(3)、连接 $D F$ ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 $D F$ 的最小值．

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34. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 $A B$ ，用绳子拉直 $A D$ 后系在树干 $E F$ 上的点 $E$ 处，使得 $A$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，通过调节点 $E$ 的高度可控制“天幕”的开合， $A C = A D = 2$ m， $B F = 3$ m．

（参考数据： $\sin 65 ° \approx 0.90$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

(1)、天晴时打开“天幕”，若 $∠ α = 65 °$ ，求遮阳宽度 $C D$ （结果精确到0.1m）；

(2)、下雨时收拢“天幕”， $∠ α$ 从65°减少到45°，求点 $E$ 下降的高度（结果精确到0.1m）．

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35. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $C F$ 平分 $∠ A C D$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、当 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $A E C F$ 是矩形？请写出证明过程．

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36. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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37. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．

(1)、求证：△AEF≌△BEC．

(2)、若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．

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38. 如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且 $∠ E A F = 45 °$ ．

(1)、当 $B E = D F$ 时，求证： $A E = A F$ ；

(2)、猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， $G H ⊥ A E$ ，垂足为K，交AC于点H且 $G H = A E$ ．若 $D F = a$ ， $C H = b$ ，请用含a，b的代数式表示EF的长．

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39. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)、直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)、若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)、当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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40. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

(1)、求证：△ABE≌△ADF；

(2)、若AE=4，CF=2，求菱形的边长．

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