2022年全国中考数学真题分类汇编18 三角形-综合题（3）

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、作图题

1. 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作 $△ A B C$ ，使 $∠ A = 90 ° ， A B = m ， B C = n$ .

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二、解答题

2. 已知：如图，点 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 、 $F$ 在一条直线上，且 $A D = C F$ ， $A B = D E$ ， $∠ B A C = ∠ E D F$ .求证： $∠ B = ∠ E$ .

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3. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ 3 = ∠ 4$ ．求证： $A B = A D$ ．

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4. 如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

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6. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $A B = A E$ ， $A C = A D$ ， $∠ B A D = ∠ E A C$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ D$ 的大小．

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7. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE

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8. 如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O.下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD.请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明.
已知： ▲ ， ▲

求证： ▲

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9. 如图，点C在 $B D$ 上， $A B ⊥ B D ， E D ⊥ B D ， A C ⊥ C E ， A B = C D$ .求证： $△ A B C ≌ △ C D E$ .

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10. 如图， $A B = A C$ ， $∠ B A D = ∠ C A D$ ．求证： $B D = C D$ ．

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三、综合题

11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)、∠EDC的度数为；

(2)、连接PG，求△APG 的面积的最大值；

(3)、PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)、求 $\frac{C H}{C E}$ 的最大值．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且点D在线段 $B C$ 上，连 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ E A C = 60 °$ ，求 $∠ C E D$ 的度数．

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13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

(1)、作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、求证：AD＝AE．

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14. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中 $(A B < B C)$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，在 $C D$ 上截取 $C D = C B$ ， $C B$ 上截取 $C E = A B$ ，连接 $D E 、 D B$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ E C D$ ；

(2)、若 $∠ A = 90 ° ， A B = 3 ， B D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 1$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的一点，以 $A D$ 为直角边作等腰 $R t △ A D E$ ，其中 $∠ D A E = 90 °$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 22.5 °$ 时，求 $B D$ 的长．

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17. 如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0， $\sqrt{3}$ ）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1)、填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

(2)、当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

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18. 如图

(1)、如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为；

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点O顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图，若 $A B = 8$ ，点C是线段AB外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 ▲ ；
②若以BC为斜边作 $R t △ B C D$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $∠ C D B = 90 °$ ，连接AD，当 $∠ C B D = ∠ D A B = 30 °$ 时，直接写出AD的值．

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19. 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A D E B$ 、 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $R t △ A B C$ 的三边为一边的正方形．延长 $I H$ 和 $F G$ ，交于点 $L$ ，连接 $L C$ 并延长交 $D E$ 于点 $J$ ，交 $A B$ 于点 $K$ ，延长 $D A$ 交 $I L$ 于点 $M$ ．

(1)、证明： $A D = L C$ ；

(2)、证明：正方形 $A C H I$ 的面积等于四边形 $A C L M$ 的面积；

(3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．

(4)、【迁移拓展】
如图2，四边形 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $△ A B C$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $A B$ 下方是否存在平行四边形 $A D E B$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $A C H I$ 、 $B F G C$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $A D E B$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $F$ 在同一条直线上， $AB = DE$ ， $BC = EF .$ 有下列三个条件： $① AC = DF$ ， $② ∠ ABC = ∠ DEF$ ， $③ ∠ ACB = ∠ DFE$ ．

(1)、请在上述三个条件中选取一个条件，使得 $△ ABC$ ≌ $△ DEF$ ．
你选取的条件为 ( 填写序号 ) ( 只需选一个条件，多选不得分 )，你判定 $△ ABC$ ≌ $△ DEF$ 的依据是 (填“ $SSS$ ”或“ $SAS$ ”或“ $ASA$ ”或“ $AAS$ ”)；

(2)、利用 $(1)$ 的结论 $△ ABC$ ≌ $△ DEF .$ 求证： $AB / / DE$ ．

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21. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)、如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 $\sqrt{2}$ ， ED＝12，求EM的长．

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22. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ 于点D，在DA上取点E，使 $D E = D C$ ，连接BE、CE．

(1)、直接写出CE与AB的位置关系；

(2)、如图2，将 $△ B E D$ 绕点D旋转，得到 $△ B^{'} E^{'} D$ （点 $B^{'}$ ， $E^{'}$ 分别与点B，E对应），连接 $C E^{'} 、 A B^{'}$ ，在 $△ B E D$ 旋转的过程中 $C E^{'}$ 与 $A B^{'}$ 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)、如图3，当 $△ B E D$ 绕点D顺时针旋转30°时，射线 $C E^{'}$ 与AD、 $A B^{'}$ 分别交于点G、F，若 $C G = F G ， D C = \sqrt{3}$ ，求 $A B^{'}$ 的长．

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23. 综合与实践

(1)、问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 上一点， $∠ A D C = ∠ A C B$ ．求证 $∠ A C D = ∠ A B C$ ．

独立思考：

请解答王老师提出的问题．

(2)、实践探究：
在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长 $C A$ 至点E，使 $C E = B D$ ， $B E$ 与 $C D$ 的延长线相交于点F，点G，H分别在 $B F ， B C$ 上， $B G = C D$ ， $∠ B G H = ∠ B C F$ ．在图中找出与 $B H$ 相等的线段，并证明．”

(3)、问题解决：
数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，若给出 $△ A B C$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，求 $B H$ 的长．”

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ，点D在 $A C$ 上， $C D = 3$ ，连接 $D B$ ， $A D = D B$ ，点P是边 $A C$ 上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作 $A C$ 的垂线，与 $A B$ 相交于点Q，连接 $D Q$ ，设 $A P = x$ ， $△ P D Q$ 与 $△ A B D$ 重叠部分的面积为S．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

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25. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)、问题发现：
如图1，若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： $B D = C E$ ；
图1

(2)、解决问题：如图2，若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点A，D，E在同一条直线上，CM为 $△ D C E$ 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2

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26. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF.

(1)、求证：∠ACB＝∠DFE；

(2)、连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状.

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27. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)、∠CAE=∠BAF；

(2)、CF·FQ=AF·BQ

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28. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D在线段 $A B$ 上，连接 $C D$ 并延长至点E，使 $D E = C D$ ，过点E作 $E F ⊥ A B$ ，交直线 $A B$ 于点F．

(1)、如图1，若 $∠ A C B = 120 °$ ，请用等式表示 $A C$ 与 $E F$ 的数量关系：．

(2)、如图2．若 $∠ A C B = 90 °$ ，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示 $A C ， A D ， D F$ 之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若 $D F = 1 ， A D = 3$ ，请直接写出 $A C$ 的长．

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29.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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30. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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31. 如图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、网格中 $△ A B C$ 的形状是；

(2)、在图①中确定一点D，连结 $D B$ 、 $D C$ ，使 $△ D B C$ 与 $△ A B C$ 全等：

(3)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点E，连结 $A E$ ，使 $△ A B E ∽ △ C B A$ ：

(4)、在图③中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 $P Q$ ，使 $△ P B Q ∽ △ A B C$ ，且相似比为1：2．

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32.

(1)、【情境再现】
甲、乙两个含 $45 °$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $A G ， B H$ ，如图③所示， $A B$ 交 $H O$ 于E， $A C$ 交 $O G$ 于F，通过证明 $△ O B E ≌ △ O A F$ ，可得 $O E = O F$ ．
请你证明： $A G = B H$ ．

(2)、【迁移应用】
延长 $G A$ 分别交 $H O ， H B$ 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 $D G$ 与 $B H$ 的位置关系．

(3)、【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含 $30 °$ 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 $H B ， A G$ ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 $A G$ 与 $B H$ 的数量关系．

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33. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 在直线 $A C$ 上，连接 $B D$ ，将BD绕点 $D$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $D E$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ．

(1)、求证： $B C = \sqrt{3} A B$ ；

(2)、当点 $D$ 在线段 $A C$ 上（点 $D$ 不与点 $A$ ， $C$ 重合）时，求 $\frac{C E}{A D}$ 的值；

(3)、过点 $A$ 作 $A N ∥ D E$ 交 $B D$ 于点 $N$ ，若 $A D = 2 C D$ ，请直接写出 $\frac{A N}{C E}$ 的值．

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34. 校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝ $30 °$

(1)、求证：△ABC≌△CDA ；

(2)、求草坪造型的面积.

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35. 已知 $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点E，F分别在边 $A C$ ， $B C$ 上， $A D = m$ ， $B D = n$ ， $△ A D E$ 与 $△ B D F$ 的面积之和为S.

(1)、填空：当 $∠ A C B = 90 °$ ， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ B C$ 时，
①如图1，若 $∠ B = 45 °$ ， $m = 5 \sqrt{2}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；
②如图2，若 $∠ B = 60 °$ ， $m = 4 \sqrt{3}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；

(2)、如图3，当 $∠ A C B = ∠ E D F = 90 °$ 时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

(3)、如图4，当 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ E D F = 120 °$ ， $m = 6$ ， $n = 4$ 时，请直接写出S的大小.

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36. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 5$ ．

(1)、作 $B C$ 的垂直平分线，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $H$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，连接CD，求 $△ B C D$ 的周长．

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37. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， D为 $Δ A B C$ 内一点，连接 $B D$ ， $D C$ 延长 $D C$ 到点 $E$ ，使得 $C E = D C .$

(1)、如图1，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使得 $C F = B C$ ，连接 $A F$ ， $E F$ 若 $A F ⊥ E F$ ，求证： $B D ⊥ A F$ ；

(2)、连接 $A E$ ，交 $B D$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $C H$ ，依题意补全图2，若 $A B^{2} = A E^{2} + B D^{2}$ ，用等式表示线段 $C D$ 与 $C H$ 的数量关系，并证明．

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38. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $h$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ， $S_{△ D B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ．
∴ $S_{△ A B C} = S_{△ D B C}$ ．
【探究】

(1)、如图②，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，设点 $A$ ， $D$ 到直线 $l_{2}$ 的距离分别为 $h$ ， $h^{'}$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{h}{h^{'}}$ ．
证明：∵ $S_{△ A B C}$       ▲
      ▲
      ▲

(2)、如图③，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，连接 $A D$ 并延长交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．
证明：过点 $A$ 作 $A E ⊥ B M$ ，垂足为 $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B M$ ，垂足为 $F$ ，则 $∠ A E M = ∠ D F M = 90 °$ ，
∴ $A E ∥$       ▲ ．
∴ $△ A E M ∽$       ▲ ．
∴ $\frac{A E}{D F} = \frac{A M}{D M}$ ．
由【探究】（1）可知 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} =$       ▲ ，
∴ $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．

(3)、如图④，当点 $D$ 在 $l_{2}$ 下方时，连接 $A D$ 交 $l_{2}$ 于点 $E$ ．若点 $A$ ， $E$ ， $D$ 所对应的刻度值分别为5，1.5，0， $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}}$ 的值为．

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