2022年全国中考数学真题分类汇编15 二次函数实际应用-几何问题

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、综合题

1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A (4 ， 0)$ 的直线AB与y轴交于点 $B (0 ， 4)$ ．经过原点O的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $M N ∥ y$ 轴且 $M N = 2$ 时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

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3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）²+2m²（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax²上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)、求a的值；

(2)、将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？

(3)、Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

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4. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)、求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)、点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)、如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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5. 如图，平行四边形ABCD中，DB＝ $2 \sqrt{3}$ ， AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)、如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 $\frac{2}{3}$ 秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

(2)、如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 $\sqrt{3}$ 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)、如图3，H在线段AB上且AH＝ $\frac{1}{3}$ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．

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6. 已知抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} - (m + 1) x - 1$ 与x轴有公共点．

(1)、当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ （如图所示），抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；

(3)、D为抛物线 $C_{2}$ 的顶点，过点C作抛物线 $C_{2}$ 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 $C_{2}$ 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)、当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)、在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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8. 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

(3)、如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

(4)、如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $- \frac{1}{2}$ ， 0），B（3， $\frac{7}{2}$ ）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $∥$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的关系式；

(2)、若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)、将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)、如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0) 、 B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，连接AC、BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、将 $△ A B C$ 沿AC所在直线折叠，得到 $△ A D C$ ，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；

(3)、点P是抛物线上的一动点，当 $∠ P C B = ∠ A B C$ 时，求点P的坐标．

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12. 抛物线 $y = a x^{2} + \frac{11}{4} x - 6$ 与x轴交于 $A (t ， 0)$ ， $B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式和t，k的值；

(2)、如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求 $C Q + \frac{1}{2} P Q$ 的最大值．

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13. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.
图1 图2

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

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14. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $A C$ ．

(1)、求点B，点C的坐标；

(2)、如图1，点 $E (m ， 0)$ 在线段 $O B$ 上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上， $O E = O F$ ，连接 $A F ， B F ， E F$ ，设 $△ A C F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S = S_{1} + S_{2}$ ，当S取最大值时，求m的值；

(3)、如图2，抛物线的顶点为D，连接 $C D ， B C$ ，点P在第一象限的抛物线上， $P D$ 与 $B C$ 相交于点Q，是否存在点P，使 $∠ P Q C = ∠ A C D$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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15. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，直线 $B C$ 方程为 $y = x - 3$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 是抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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16. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点（A在B的左侧），与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ，点P在抛物线上，连接 $B C ， B P$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P在第四象限，点D在线段 $B C$ 上，连接 $P D$ 并延长交x轴于点E，连接 $C E$ ，记 $△ D C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D B P$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段 $B C$ 交于点G，当 $∠ P B C + ∠ C F G = 90 °$ 时，求点P的横坐标．

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17. 如图，已知直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)、若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于点 $A (3 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， 0)$ ，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $O D$ 交 $A C$ 于点N，当 $\frac{D N}{O N}$ 的值最大时，求点D的坐标；

(3)、P为抛物线上一点，连接 $C P$ ，过点P作 $P Q ⊥ C P$ 交抛物线对称轴于点Q，当 $t a n ∠ P C Q = \frac{3}{4}$ 时，请直接写出点P的横坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)、求抛物线的解析式及点B的坐标．

(2)、如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．

(3)、动点P以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $P$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $P E$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $△ B C D$ 的面积为12，求点 $P$ 的坐标．

(3)、在（2）的条件下，若点 $E$ 是线段 $B C$ 上点，连接 $O E$ ，将 $△ O E B$ 沿直线 $O E$ 翻折得到 $△ O E B^{'}$ ，当直线 $E B^{'}$ 与直线 $B P$ 相交所成锐角为 $45 °$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标．

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21. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的顶点为A，与y轴交于点C，线段 $C B ∥ x$ 轴，交该抛物线于另一点B.

(1)、求点B的坐标及直线 $A C$ 的解析式：

(2)、当二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的自变量x满足 $m ⩽ x ⩽ m + 2$ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，且 $p - q = 2$ .求m的值：

(3)、平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，使其顶点始终在直线 $A C$ 上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 是常数）经过点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 3)$ ．点 $P$ 在此抛物线上，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 在 $x$ 轴上方时，结合图象，直接写出 $m$ 的取值范围；

(3)、若此抛物线在点 $P$ 左侧部分（包括点 $P$ ）的最低点的纵坐标为 $2 - m$ ．
①求 $m$ 的值；
②以 $P A$ 为边作等腰直角三角形 $P A Q$ ，当点 $Q$ 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点 $Q$ 的坐标．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ .

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $D M$ 交直线 $B C$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点 $N$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $E$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $F$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为 $D (2 ， 1)$ ，抛物线的对称轴交直线 $B C$ 于点E.

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 $h (h > 0)$ ，在平移过程中，该抛物线与直线 $B C$ 始终有交点，求h的最大值；

(3)、M是（1）中抛物线上一点，N是直线 $B C$ 上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $F_{1}$ ： $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ .

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的解析式；

(2)、如图2，作抛物线 $F_{2}$ ，使它与抛物线 $F_{1}$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请直接写出抛物线 $F_{2}$ 的解析式；

(3)、如图3，将（2）中抛物线 $F_{2}$ 向上平移2个单位，得到抛物线 $F_{3}$ ，抛物线 $F_{1}$ 与抛物线 $F_{3}$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 的左侧）.
①求点 $C$ 和点 $D$ 的坐标；

②若点 $M$ ， $N$ 分别为抛物线 $F_{1}$ 和抛物线 $F_{3}$ 上 $C$ ， $D$ 之间的动点（点 $M$ ， $N$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合），试求四边形 $C M D N$ 面积的最大值.

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27. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (2 ， - 3)$ ，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在点P，使 $△ P B C$ 的面积是 $△ B C D$ 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

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28. 探索发现

(1)、在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；

(2)、通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析

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29. 综合与探究
如图，某一次函数与二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；

(3)、点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；

(4)、在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

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30. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交y轴于点 $A (0 ， - 4)$ ，并经过点 $C (6 ， 0)$ ，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ， D点的坐标为 $(4 ， 0)$ ，连接 $A D$ ， $B C$ ， $B D$ .点E从A点出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿着射线 $A D$ 运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于F，以 $E F$ 为对角线作正方形 $E G F H$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点G随着E点运动到达 $B C$ 上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)、在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

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31. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， $A (1 ， 0)$ ， $A B = 4$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交 $A C$ 于点Q．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求 $△ C P Q$ 面积的最大值，并求此时P点坐标．

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32. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 与直线 $y = x$ 交于原点 $O$ 和点 $B$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，顶点为 $D$ .

(1)、直接写出点 $B$ 和点 $D$ 的坐标；

(2)、如图1，连接 $O D$ ， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，当 $t a n ∠ P D O = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2， $M$ 是点 $B$ 关于抛物线对称轴的对称点， $Q$ 是抛物线上的动点，它的横坐标为 $m (0 < m < 5)$ ，连接 $M Q$ ， $B Q$ ， $M Q$ 与直线 $O B$ 交于点 $E .$ 设 $△ B E Q$ 和 $△ B E M$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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33. 综合与探究
如图，二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)、求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)、当 $△ C E P$ 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)、连接AC，过点P作直线 $l ∥ A C$ ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得 $C E = F D$ ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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34. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 由直线 $B C$ 平移得到，与 $y$ 轴交于点 $E (0 ， n)$ .四边形 $M N P Q$ 的四个顶点的坐标分别为 $M (m + 1 ， m + 3)$ ， $N (m + 1 ， m)$ ， $P (m + 5 ， m)$ ， $Q (m + 5 ， m + 3)$ .

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若点 $M$ 在第二象限，直线 $l$ 与经过点 $M$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有且只有一个交点，求 $n^{2}$ 的最大值；

(3)、当直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 、抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 都有交点时，存在直线 $l$ ，对于同一条直线 $l$ 上的交点，直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的交点的纵坐标.
①当 $m = - 3$ 时，直接写出 $n$ 的取值范围；

②求 $m$ 的取值范围.

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35. 已知抛物线y＝x²+bx+c．

(1)、如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB.
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

(2)、如图②，直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x²+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围.

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36. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c + (a < 0)$ 与x轴分则点A和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，对称轴为直线 $x = - 1$ ，且 $O A = O C$ ， P为抛物线上一动点.

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)、设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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37. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a > 0$ ）的顶点为P，与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B．

(1)、若 $b = - 2 ， c = - 3$ ，
①求点P的坐标；
②直线 $x = m$ （m是常数， $1 < m < 3$ ）与抛物线相交于点M，与 $B P$ 相交于点G，当 $M G$ 取得最大值时，求点M，G的坐标；

(2)、若 $3 b = 2 c$ ，直线 $x = 2$ 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 $P F + F E + E N$ 的最小值为5时，求点E，F的坐标．

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38. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} - x - 2$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，将该抛物线位于 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 $W$ ”，图象 $W$ 交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、写出图象 $W$ 位于线段 $A B$ 上方部分对应的函数关系式；

(2)、若直线 $y = - x + b$ 与图象 $W$ 有三个交点，请结合图象，直接写出 $b$ 的值；

(3)、 $P$ 为 $x$ 轴正半轴上一动点，过点 $P$ 作 $P M ∥ y$ 轴交直线 $B C$ 于点 $M$ ，交图象 $W$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使 $△ C M N$ 与 $△ O B C$ 相似？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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39. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求线段AC的长；

(2)、若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 $P A = P C$ 时，求点P的坐标；

(3)、若点M为该抛物线上的一个动点，当 $△ B C M$ 为直角三角形时，求点M的坐标．

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40. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、连接 $B C$ ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 $∠ P C B = ∠ A B C$ ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $A Q$ ， $B Q$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $E M + E N$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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