2022年全国中考数学真题分类汇编14 二次函数实际应用-模型问题

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ $- \frac{1}{32}$ x²+ $\frac{1}{2}$ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为m时，竖直高度达到最大值．

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2. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 $40 m / s$ 的速度将小球沿与地面成 $30 °$ 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 $h = - 5 t^{2} + 20 t$ ，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．

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3. 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则铅球推出的水平距离OA的长是m．

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4. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米.

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5. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $h$ （单位：m）与飞行时间 $t$ （单位：s）之间具有函数关系： $h = - 5 t^{2} + 20 t$ ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 $t =$ s.

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6. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 $y = - 0.2 x^{2} + x + 2.25$ 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m .

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7. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与它距离喷头的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间满足函数关系式 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ，喷出水珠的最大高度是 $m$ .

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8. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t².现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁ ，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂ ，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂（如图2）.若h₁＝2h₂ ，则t₁：t₂＝.

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 1 ， 0)$ 和点 $(2 ， 0)$ ，以下结论：
① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a + b = 0$ ；④当 $x < \frac{1}{2}$ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有．（填写代表正确结论的序号）

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二、解答题

10. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

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三、综合题

11. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 $\frac{5}{3} m$ ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

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12. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.

(1)、求抛物线的表达式.

(2)、爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

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13. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 $O E$ 表示水平的路面，以O为坐标原点，以 $O E$ 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： $O E = 10 m$ ，该抛物线的顶点P到 $O E$ 的距离为 $9 m$ .

(1)、求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)、现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到 $O E$ 的距离均为 $6 m$ ，求点A、B的坐标.

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14. 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 $P_{1}$ ， $P_{4}$ 在x轴上，MN与矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 $P_{1} P_{2}$ ， $P_{2} P_{3}$ ， $P_{3} P_{4}$ ， MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 $P_{2}$ ， $P_{3}$ 在抛物线AED上．设点 $P_{1}$ 的横坐标为 $m (0 < m \leq 6)$ ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 面积的最大值，及取最大值时点 $P_{1}$ 的横坐标的取值范围（ $P_{1}$ 在 $P_{4}$ 右侧）．

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15. 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 $O B A$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $O A = 8 m$ ，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4m$ .

(1)、按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)、一只宽为 $1 .2m$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0 .4m$ 时，桥下水位刚好在 $O A$ 处.有一名身高 $1.68 m$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；

(3)、如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，该抛物线在 $x$ 轴下方部分与桥拱 $O B A$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $8 \leq x \leq 9$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围.

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16. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $y_{1}$ （米）与小钢球运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $y_{2}$ （米）与它的运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

(1)、直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求出 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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17. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

(1)、求桥拱项部O离水面的距离.

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

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18. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 $y = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + 6$ .

(1)、求雕塑高OA.

(2)、求落水点C，D之间的距离.

(3)、若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， $O E = 10 m$ ， $E F = 1.8 m ， E F ⊥ O D$ .问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

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19. 第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 $θ = 37 °$ 的跳台A点以速度 $v_{0}$ 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆， $A B = 150 m$ ，且 $s i n 37 ° = 0.6$ .忽略空气阻力，请回答下列问题：

(1)、求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？

(2)、以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；

(3)、若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？

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20. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 $v (m / s)$ 从D点滑出，运动轨迹近似抛物线 $y = - a x^{2} + 2 x + 20 (a \neq 0)$ ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

(1)、求线段CE的函数表达式（写出 $x$ 的取值范围）．

(2)、当 $a = \frac{1}{9}$ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)、在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与 $v^{2}$ 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

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21. 某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式： $y = {\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c (0 \leq x \leq 8) \\ 640 ， (8 < x \leq 10) \end{array} ，$ 数据如下表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640

(1)、求a，b，c的值；

(2)、如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；

(3)、在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

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22. $2022$ 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度 $O A$ 为4米，以起跳点正下方跳台底端 $O$ 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 12)$ ，着陆坡顶端 $C$ 与落地点 $D$ 的距离为2.5米，若斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 3 ： 4$ （即 $\frac{C E}{D E} = \frac{3}{4}$ ）．求：

(1)、点 $A$ 的坐标；

(2)、该抛物线的函数表达式；

(3)、起跳点 $A$ 与着陆坡顶端 $C$ 之间的水平距离 $O C$ 的长．（精确到0.1米）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．

小亮认为，可以从y=kx+b（k>0），y= $\frac{m}{x}$ （m>0），y=−0.1x²+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．

(1)、小莹认为不能选 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ ．你认同吗？请说明理由；

(2)、请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；

(3)、根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？

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24. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 $A D = 4 m$ ，宽 $A B = 1 m$ 的长方形水池 $A B C D$ 进行加长改造（如图①，改造后的水池 $A B N M$ 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为 $12 m$ 的矩形水池 $E F G H$ （如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 加长长度 $D M$ 为 $x (m) (x > 0)$ ，加长后水池1的总面积为 $y_{1} (m^{2})$ ，则 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{1} = x + 4 (x > 0)$ ；设水池2的边 $E F$ 的长为 $x (m) (0 < x < 6)$ ，面积为 $y_{2} (m^{2})$ ，则 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{2} = - x^{2} + 6 x (0 < x < 6)$ ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】

(1)、若水池2的面积随 $E F$ 长度的增加而减小，则 $E F$ 长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是 $m^{2}$ ；

(2)、在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的 $x (m)$ 值是；

(3)、当水池1的面积大于水池2的面积时， $x (m)$ 的取值范围是；

(4)、在 $1 < x < 4$ 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 $x$ 的值；

(5)、假设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 的长度为 $b (m)$ ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积 $y_{3} (m^{2})$ 关于 $x (m) (x > 0)$ 的函数解析式为： $y_{3} = x + b (x > 0)$ ．若水池3与水池2的面积相等时， $x (m)$ 有唯一值，求 $b$ 的值．

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25. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 $y$ （单位：m）与水平距离 $x$ （单位：m）近似满足函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ ．
某运动员进行了两次训练．

(1)、第一次训练时，该运动员的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0) ；$

(2)、第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 $y = - 0.04 (x - 9)^{2} + 23.24 .$ 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d₁ ，第二次训练的着陆点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ （填“>”“=”或“<”）．

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26. 如图，点 $P (a ， 3)$ 在抛物线C： $y = 4 - {(6 - x)}^{2}$ 上，且在C的对称轴右侧．

(1)、写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；

(2)、坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 $P^{'}$ ， $C^{'}$ ．平移该胶片，使 $C^{'}$ 所在抛物线对应的函数恰为 $y = - x^{2} + 6 x - 9$ ．求点 $P^{'}$ 移动的最短路程．

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27. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成I、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)、方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度AE=1m的水池，且需保证总种植面积为32m² ，试分别确定CG、DG的长；

(2)、方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

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28. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在

A

处开始减速，此时白球在黑球前面

70 c m

处.

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、运动距离 $y$ （单位： $c m$ ）随运动时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据，整理得下表.

运动时间 $t / s$	0	1	2	3	4
运动速度 $v / c m / s$	10	9.5	9	8.5	8
运动距离 $y / c m$	0	9.75	19	27.75	36

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间成一次函数关系，运动距离 $y$ 与运动时间 $t$ 之间成二次函数关系.

(1)、直接写出

v

关于

t

的函数解析式和

y

关于

t

的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

(2)、当黑球减速后运动距离为

64 c m

时，求它此时的运动速度；

(3)、若白球一直以

2 c m / s

的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.

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29. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 $O A$ 为 $66 m$ ，基准点K到起跳台的水平距离为 $75 m$ ，高度为 $h m$ （h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系为 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、c的值为；

(2)、①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 $a = - \frac{1}{50} ， b = \frac{9}{10}$ ，求基准点K的高度h；
②若 $a = - \frac{1}{50}$ 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为_▲_；

(3)、若运动员飞行的水平距离为 $25 m$ 时，恰好达到最大高度 $76 m$ ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．

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30. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位： m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l 的距离OD为d（单位：m）．

(1)、若h=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；

②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)、若 EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

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时间x（分钟）	0	1	2	3	…	8	$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）	0	150	280	390	…	640	640

水平距离x/m	0	2	5	8	11	14
竖直高度y/m	20.00	21.40	22.75	23.20	22.75	21.40