2022年全国中考数学真题分类汇编12 二次函数图像与性质

试卷更新日期：2022-12-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ ，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点 $(\frac{1}{2} ， y_{1})$ ，（3，y₂）是抛物线上的两点，则y₁<y₂；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，点 $P$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $O P = 1$ ，设 $M = a c (a + b + c)$ ，则 $M$ 的取值范围为（）

A、 $M < - 1$ B、 $- 1 < M < 0$ C、 $M < 0$ D、 $M > 0$

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、函数的最大值为 $a - b + c$ C、当 $- 3 ⩽ x ⩽ 1$ 时， $y ⩾ 0$ D、 $4 a - 2 b + c < 0$

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4. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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5. 函数 $y = | a x^{2} + b x + c | (a > 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象是由函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象 $x$ 轴上方部分不变，下方部分沿 $x$ 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）
① $2 a + b = 0$ ；② $c = 3$ ；③ $a b c > 0$ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 $y = 5$ 有3个交点．

A、①② B、①③ C、②③④ D、①③④

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ ，有以下结论：① $a b c < 0$ ；②若t为任意实数，则有 $a - b t \leq a t^{2} + b$ ；③当图象经过点 $(1 ， 3)$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则 $x_{1} + 3 x_{2} = 0$ ，其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，且过点 $(0 ， 1)$ ．有以下四个结论：① $a b c > 0$ ， ② $a - b + c > 1$ ， ③ $3 a + c < 0$ ， ④若顶点坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，当 $m \leq x \leq 1$ 时，y有最大值为2、最小值为 $- 2$ ，此时m的取值范围是 $- 3 \leq m \leq - 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，与x轴交于 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ 两点，若 $- 2 < x_{1} < - 1$ ，则下列四个结论：① $3 < x_{2} < 4$ ， ② $3 a + 2 b > 0$ ， ③ $b^{2} > a + c + 4 a c$ ， ④ $a > c > b$ ．

正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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10. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝ $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 根据如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，判断反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 2$ 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 $M (m - 1 ， y_{1})$ ， $N (m + 1 ， y_{2})$ 为图形G上两点，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ 或 $m > 0$ B、 $- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$ C、 $0 \leq m < \sqrt{2}$ D、 $- 1 < m < 1$

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = - 2$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $c > 0$ C、当 $x < - 2$ 时，y随x的增大而减小 D、当 $x > - 2$ 时，y随x的增大而减小

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14. 关于二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ ，下列说法正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、函数图象的顶点坐标是 $(- 1 ， 5)$ C、该函数有最大值，是大值是5 D、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大

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15. 抛物线y=x²+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 4$ D、4

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16. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = x^{2} - 1$

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17. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ $\frac{1}{2}$ ，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、③④ D、②③

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18. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）

A、abc＞0 B、3a+c＞0 C、a²m²+abm≤a²+ab（m为任意实数） D、﹣1＜a＜﹣ $\frac{2}{3}$

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19. 已知抛物线y=ax² +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ $\frac{4}{3}$ ， y₁）、C（ $\frac{1}{3}$ ， y₂）、D（ $- \frac{1}{3}$ ， y₃）是抛物线上的三点，则y₁<y₂<y₃.其中正确结论的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于两点（x₁ ， 0）、（2，0），其中0＜x₁＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax²+bx+c＞﹣ $\frac{c}{x_{1}}$ x+c的解集为0＜x＜x₁.其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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21. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - b x + c$ ，当 $x = 1$ 时， $y < 0$ ；当 $x = 2$ 时， $y < 0$ .下列判断：
① $b^{2} > 2 c$ ；②若 $c > 1$ ，则 $b > \frac{3}{2}$ ；③已知点 $A (m_{1} ， n_{1})$ ， $B (m_{2} ， n_{2})$ 在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - b x + c$ 上，当 $m_{1} < m_{2} < b$ 时， $n_{1} > n_{2}$ ；④若方程 $\frac{1}{2} x^{2} - b x + c = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 3$ .
其中正确的有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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22. 二次函数 $y = {(x + m)}^{2} + n$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = m x + n$ 的图象经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限

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23. 抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）²﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y₁），（4，y₂）在其图象上，则y₂＞y₁；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）²﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.

A、②③④ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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24. 抛物线 $y = 2 (x + 9)^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(9 ， - 3)$ B、 $(- 9 ， - 3)$ C、 $(9 ， 3)$ D、 $(- 9 ， 3)$

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25. 小嘉说：将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象平移或翻折后经过点 $(2 ， 0)$ 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的对称轴是 $x = - 1$ ，直线 $l ∥ x$ 轴，且交抛物线于点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $b^{2} > - 8 a$ B、若实数 $m \neq - 1$ ，则 $a - b < a m^{2} + b m$ C、 $3 a - 2 > 0$ D、当 $y > - 2$ 时， $x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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27. 已知二次函数y=2x²−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

28. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y₁），（﹣2，y₂），（3，y₃）均在二次函数图象上，则y₁＜y₂＜y₃；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有．（填序号，多选、少选、错选都不得分）

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29. 如图是二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像，该函数的最小值是．

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30. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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31. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $a ⩽ x ⩽ \frac{1}{2}$ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为．

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32. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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33. 在平面直角坐标系中，点 $C$ 和点 $D$ 的坐标分别为 $(- 1 ， - 1)$ 和 $(4 ， - 1)$ ，抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x + 2 (m \neq 0)$ 与线段 $C D$ 只有一个公共点，则 $m$ 的取值范围是．

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三、综合题

34. 已知二次函数y=ax²+4ax+b.

(1)、求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；

(2)、在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；

(3)、点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式.

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35. 新定义：我们把抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a b \neq 0$ ）与抛物线 $y = b x^{2} + a x + c$ 称为“关联抛物线”.例如：抛物线 $y = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的“关联抛物线”为： $y = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .已知抛物线 $C_{1} ： y = 4 a x^{2} + a x + 4 a - 3 (a \neq 0)$ 的“关联抛物线”为 $C_{2}$ .

(1)、写出 $C_{2}$ 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

(2)、若 $a > 0$ ，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于点M，N.
①当 $M N = 6 a$ 时，求点a的坐标；
②当 $a - 4 \leq x \leq a - 2$ 时， $C_{2}$ 的最大值与最小值的差为 $2 a$ ，求a的值.

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36. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，且函数图象经过 $(0 ， 3)$ ， $(2 ， - 5)$ 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 $x$ 轴交点及顶点的坐标；

(2)、在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 $y \geq 3$ 时自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $a + b + c = 0$ 且 $a > b > c$ ，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两根之差等于 $a - c$ ，函数图象经过 $P (\frac{1}{2} - c ， y_{1}) ， Q (1 + 3 c ， y_{2})$ 两点，试比较 $y_{1} 、 y_{2}$ 的大小 .

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37. 在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标和纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $(1 ， 1)$ ， $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ， $(- \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ ， ……都是和谐点．

(1)、判断函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2)、若二次函数 $y = a x^{2} + 6 x + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有一个和谐点 $(\frac{5}{2} ， \frac{5}{2})$ ．
①求 $a$ ， $c$ 的值；

②若 $1 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = a x^{2} + 6 x + c + \frac{1}{4} (a \neq 0)$ 的最小值为－1，最大值为3，求实数 $m$ 的取值范围．

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38. 已知直线l： $y = k x + b$ 经过点（0，7）和点（1，6）．

(1)、求直线l的解析式；

(2)、若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在 $\frac{4 m}{5}$ ≤ $x$ ≤ $\frac{4 m}{5} + 1$ 的图象的最高点的坐标．

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39. 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：

二次函数的图象经过点 $(- 1 ， - 1)$ ，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．

(1)、 [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．

(2)、[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．

(3)、[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．

请你探究这个方法，写出探究过程．

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40. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1 ， m) ， (3 ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t .$

(1)、当 $c = 2 ， m = n$ 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 $t$ 的值；

(2)、点 $(x_{0} ， m) (x_{0} \neq 1)$ 在抛物线上，若 $m < n < c ，$ 求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．

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