浙江省强基联盟2022-2023学年高二上学期数学12月统测试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为 $2 x + y = 0$ ，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）

A、 $2 x + y \pm 2 = 0$ B、 $2 x + y \pm \sqrt{5} = 0$ C、 $2 x + y \pm 4 = 0$ D、 $2 x + y \pm 2 \sqrt{5} = 0$

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3. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{n^{2}} - y^{2} = 1 (n > 0)$ 的焦点重合， $e_{1} ， e_{2}$ 分别是 $C_{1} ， C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $n = \sqrt{2} ， e_{1} e_{2} < 1$ B、 $n = 2 ， e_{1} e_{2} < 1$ C、 $n = \sqrt{2} ， e_{1} e_{2} > 1$ D、 $n = 2 ， e_{1} e_{2} > 1$

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4. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与该双曲线相交于 $A ， B$ 两点，若 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、该直线不存在

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5. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} D_{1} = 3 A_{1} E$ ，则点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{6 \sqrt{19}}{19}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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6. 已知空间非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，则“ $\vec{a} = λ \vec{c}$ ”是“ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充要条件 D、必要不充分条件

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7. 已知 $A (x_{0} ， y_{0})$ 是函数 $y = b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} (a > b > 0)$ 的图像上一点，设 $B (- \sqrt{a^{2} - b^{2}} ， 0)$ ，则 $| A B | + y_{0}$ 的最大值（）

A、与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关 B、与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关 C、与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关 D、与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关

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8. 在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内一动点，且满足 $C_{1} P$ $/ /$ 平面 $A C D_{1}$ ，若 $C_{1} P = 2 \sqrt{14}$ ，三棱锥 $D - A B P$ 的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $64 π$ B、 $76 π$ C、 $96 π$ D、 $112 π$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为 $(x - a)^{2} + (y + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、该圆的圆心为 $(a ， - b)$ B、该圆的半径为 $a^{2} + b^{2}$ C、该圆过定点 $(0 ， 0)$ D、该圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 | b |$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面，则它们所在的直线共面 B、若 $G$ 是四面体 $O A B C$ 的底面 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ C、若 $\vec{O G} = - \frac{2}{5} \vec{O A} + \frac{3}{5} \vec{O B} + \frac{3}{5} \vec{O C}$ ，则 $A ， B ， C ， G$ 四点共面 D、若向量 $\vec{p} = m \vec{x} + n \vec{y} + k \vec{z}$ ，则称 $(m ， n ， k)$ 为 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{x} ， \vec{y} ， \vec{z}}$ 下的坐标，已知 $\vec{p}$ 在单位正交基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 3)$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = \frac{1}{2} x ， A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是该抛物线上两点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为焦点，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{16}$ B、若 $| A F | + | B F | = 2$ ，则线段 $A B$ 的中点到准线的距离为1 C、若 $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ，则 $3 | A F | + | B F |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + 2}{4}$ D、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $| O A | \cdot | O B | ⩾ \frac{1}{2}$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $Q$ 点在线段 $D_{1} B$ 上，且满足 $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} B}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、以 $A_{1}$ 为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面与底面 $A B C D$ 的交线的长度为 $\frac{π}{2}$ B、若直线 $C Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{19}}{19}$ ，则 $λ = \frac{2}{5}$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，三棱锥 $A - C Q D_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{9}$ D、过 $A ， M ， C_{1}$ 三点作正方体的截面 $α ， P$ 为截面 $α$ 上一点，则线段 $A_{1} P$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系内，点 $A (1 ， - 1)$ 关于直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 对称的点 $B$ 的坐标为.

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14. 某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点 $F$ 处，已知卫星接收天线的口径（直径）为 $6 m$ ，深度为 $1 m$ ，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为 $m$ .

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15. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面边长是2，高是1，过底面一边 $A B$ 作与底面 $A B C$ 成 $6 0^{∘}$ 角的截面，则其面积是.

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16. 已知正数 $a ， b ， x ， y$ 满足 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^{2} + b^{2} = a^{2} + y^{2} ， b y - y^{2} = a x - x^{2}$ ，则 $\frac{a + b}{x + y} =$ .

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四、解答题

17. 已知 $t \in (0 ， 5]$ ，由 $t$ 确定两个点 $P (t ， t) ， Q (10 - t ， 0)$ .

(1)、写出直线 $P Q$ 的方程（答案含 $t$ ）；

(2)、在 $△ O P Q$ 内作内接正方形 $A B C D$ ，顶点 $A ， B$ 在边 $O Q$ 上，顶点 $C$ 在边 $P Q$ 上.若 $O A = a$ ，当正方形 $A B C D$ 的面积最大时，求 $a ， t$ 的值.

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，设 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C D} = \vec{c}$ .

(1)、若 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C} ， F$ 是 $A D$ 的中点，用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $\vec{C A} ， \vec{C B} ， \vec{C D}$ 两两垂直，证明： $△ A B D$ 为锐角三角形.

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19. 在平面直角坐标系中，已知关于 $x ， y$ 的方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + \sqrt{3} m y + m^{2} = 0 (m \in R)$ .

(1)、当 $m$ 为何值时，该方程表示圆？并求出半径最大的圆的方程.

(2)、已知 $M (- 1 ， 0) ， N (1 ， 2)$ ，当（1）中圆的半径取最大时，该圆上是否存在点 $P$ ，满足 ${| P M |}^{2} + {| P N |}^{2} = 12$ ？若存在，求出点 $P$ 的个数；若不存在，请说明理由.

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20. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， B P ⊥ A D ， P A = P B = B C = 2 ， P D = 1$ .将 $△ P A B$ 沿 $P B$ 翻折到 $△ Q P B$ 的位置，使得平面 $Q P B ⊥$ 平面 $P B C D$ ，如图2所示.

(1)、设平面 $Q C D$ 与平面 $Q P B$ 的交线为 $l$ ，证明： $B C ⊥ l$ .

(2)、若点 $S$ 在线段 $Q C$ 上（点 $S$ 不与端点重合），平面 $S B D$ 与平面 $B C D$ 夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{70}}{14}$ ，求 $\frac{S C}{S Q}$ 的值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且右顶点 $A (\sqrt{3} ， 0)$ 到渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} ， M ， N$ 是双曲线 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的两点，且 $M F_{1} / / N F_{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求 $\frac{1}{| M F_{1} |} + \frac{1}{| N F_{2} |}$ 的值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ，过点 $(0 ， \sqrt{13})$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，且两切线垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $C$ 的上顶点为 $A ， O$ 为坐标原点，过 $T (0 ， - 6) ， O$ 两点的圆 $Q$ 与 $l ： y = - 3$ 交于 $E ， F$ 两点，直线 $A E ， A F$ 分别交椭圆 $C$ 于异于 $A$ 的 $M ， N$ 两点.证明：直线 $M N$ 过定点.

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