新疆和田地区和田县2022-2023学年高二上学期数学11月期中教学情况调研试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $a$ 为实数，则“ $a > 1$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{a - 1} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 表示的曲线为椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若直线 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t ， \\ y = 3 + 2 t \end{array}$ （ $t$ 为参数）与直线 $4 x + k y = 1$ 垂直，则常数 $k =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 方程 $\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{10 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(4, 7)$ C、 $(4, 10)$ D、 $(7, 10)$

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4. 直线 $x s i n α - y + 2 = 0 (α \in R)$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(0 ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{3 π}{4} ， π)$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$

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5. 设复数 $z_{1} = - 6 + 8 i$ ， $z_{2} = 5 - 9 i$ 在复平面所对应的点为 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ ，则关于点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 与以原点为圆心，10为半径的圆 $C$ 的位置关系，描述正确的是（）

A、点 $Z_{1}$ 在圆 $C$ 上，点 $Z_{2}$ 不在圆 $C$ 上； B、点 $Z_{1}$ 不在圆 $C$ 上，点 $Z_{2}$ 在圆 $C$ 上； C、点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 都在圆 $C$ 上； D、点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 都不在圆 $C$ 上．

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6. 直线 $x + y \cdot t a n 75 ° + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、75° B、105° C、165° D、15°

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7. 如果圆（x﹣a）²+（y﹣1）²＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（　　）

A、 $(- 2 \sqrt{2} ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ C、（﹣1，0）∪（0，1） D、（﹣1，1）

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8. 已知实数 $4 ， m ， 9$ 构成一个等比数列，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ 或 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{5}{6}$ 或7

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二、多选题

9. 下列数学符号可以表示单位向量的是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(s i n a ， c o s a)$ C、 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \cdot \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ D、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a} (\vec{a} \neq \vec{0})$

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10. 已知 $f (x) = c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $x = \frac{π}{6}$ 为 $f (x)$ 的一条对称轴 D、 $(- \frac{π}{12} ， \frac{1}{2})$ 为 $f (x)$ 的一个对称中心

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则以下说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P ∥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在唯一点P使得DP与直线 $C B_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $D P + P B$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、当点P落在以 $B_{1}$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面上时， $λ + μ$ 的最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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12. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，定点 $A (1 ， 4)$ ，若点P是椭圆E上的动点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的值可能为（）

A、7 B、10 C、17 D、19

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三、填空题

13. 平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是 $x + y - 1 = 0$ ， $3 x - y + 4 = 0$ ，对角线的交点是 $O (3 ， 3)$ ，则平行四边形ABCD的面积为.

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14. 已知集合 $A = {y | y = 1 0^{x} ， x \in R}$ ， $B = {y | y = x^{2} ， 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C$ 的圆心在第一象限，圆 $C$ 与 $x$ 轴相交于 $A (1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，且与直线 $x - y + 1 = 0$ 相切，则圆 $C$ 的标准方程为.

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16. 若 $A$ 点坐标为 $(1, 1)$ ， $F_{1}$ 是椭圆 $5 y^{2} + 9 x^{2} = 45$ 的下焦点，点 $P$ 是该椭圆上的动点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M - N =$ ．

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四、解答题

17. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F$ ， $F$ 与短轴的两个端点构成正三角形，以 $O$ （坐标原点）为圆心， $O F$ 长为半径的圆与直线 $y = x + \sqrt{6}$ 相切．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 为直线 $y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 上任意一点，过点 $F$ 作与直线 $P F$ 垂直的直线 $l$ ， $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点， $A B$ 的中点为 $M$ ，求证： $O 、 M 、 P$ 三点共线．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1 ， - 2)$ 、 $B (2 ， 3)$ 、 $C (- 2 ， - 1)$ ．

(1)、求以线段 $A B ， A C$ 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)、在平面内一点 $D$ 满足 $\vec{O D} = \vec{A B} - t \vec{O C}$ ，若 $△ A C D$ 为直角三角形，且 $∠ A$ 为直角，试求实数 $t$ 的值．

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20. 如图，已知矩形 $A B C D$ 所在平面垂直于直角梯形 $A B P E$ 所在平面，且 $A B = B P = 2$ ， $A D = A E = 1$ ， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E / / B P .$

(1)、设点M为棱 $P D$ 中点，求证 $E M / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、线段 $P D$ 上是否存在一点N ，使得直线 $B N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值等 $\frac{2 \sqrt{105}}{35}$ ？若存在，试求出线段 $P N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD， $A B = 2 P A = 2$ ， $∠ A B C = 6 0^{0}$ ， $Q C = Q D = \sqrt{13}$ ， $P Q = a (a > 0)$ ．

(1)、设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；

(2)、当 $a = 4$ 时，求直线 $P Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $x = k y + 1$ 过点 $F_{2}$ ，与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $△ P Q F_{1}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点为点 $M$ ，若 $△ P Q M$ 面积为 $\frac{4}{3}$ ，求 $k$ 的值.

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