晥豫名校联盟2023届高三上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = | x - 1 | - 1 ， x \in R} ， B = {x ∣ l o g_{3} x ⩾ 1}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x ∣ x ⩾ - 1}$ B、 ${x ∣ x < 3}$ C、 ${x ∣ - 1 ⩽ x ⩽ 3}$ D、 ${x ∣ - 1 ⩽ x < 3}$

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2. 已知 $O$ 为坐标原点，复数 $z = \frac{2 (3 + 4 i)}{1 - i}$ 在复平面内所对应的点为 $Z$ ，则直线 $O Z$ 的方程为（）

A、 $y = - 7 x$ B、 $y = 7 x$ C、 $y = - \frac{1}{7} x$ D、 $y = \frac{1}{7} x$

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3. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - x + b$ ，若 $f^{'} (1) = 2$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）且 $f (1) = 5$ ，则 $b =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4 c o s x}{2^{x - 1} + 2^{- x - 1}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. “ $a \leq 2$ ”是“ $s i n^{2} x - a s i n x + 1 > 0$ 在 $(0 ， π)$ 上恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为 $8 ： 7$ .若设明间的宽度为 $a$ ，则该大殿9间的总宽度为（）

A、 ${(\frac{7}{8})}^{4} a$ B、 $15 a - 14 a {(\frac{7}{8})}^{5}$ C、 $14 a [1 - {(\frac{7}{8})}^{4}]$ D、 $15 a - 14 a {(\frac{7}{8})}^{4}$

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7. 已知 $a ， b ， c \in R^{+}$ ， $θ \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，不等式 $\frac{2 b (a + c)}{a^{2} + 4 b^{2} + c^{2}} ⩽ c o s θ$ 恒成立，则 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ B、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ D、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$

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8. 已知 $l n 3 < 1.1 ， a = 3 (2 - l n 3) e^{- 2} ， b = 3 (3 - l n 3) e^{- 3} ， c = l n \sqrt[3]{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + 1 (ω \in N)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，则（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $g (x) = c o s (2 x + \frac{2 π}{3}) + 1$ C、 $g (x)$ 图像的一个对称中心为 $(- \frac{7 π}{12} ， 1)$ D、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{5 π}{6}) + 1$

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10. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $3 b_{2} = b_{5}$ ， $b_{3} = 5 b_{2} - 10$ ，若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} = b_{n}$ ， $b_{1} = a_{1} + 1$ ，则（）

A、 $b_{32} = 63$ B、 $S_{n} - 5 b_{n}$ 的最小值为 $- 25$ C、 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前100项中的公共项的和为2000

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意的实数 $x$ ，都有 $f (2 - x) = 2 - f (x)$ ，且当 $x \in [1 ， + ∞)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x - 2$ ，则（）

A、 $f (- \sqrt{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增 C、方程 $[f (x)]^{2} - 3 f (x) + 2 = 0$ 有5个不同的实根 D、函数 $y = f (x) - \frac{x}{x - 1}$ 的零点之和为4

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12. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C$ ，其高 $A D = 3$ ， $E$ 为线段 $B D$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折成大小为 $θ (\frac{π}{3} < θ ⩽ \frac{π}{2})$ 的二面角，连接 $B C$ ，形成四面体 $A - B C D$ ，动点 $P$ 在 $△ A C D$ 内（含边界），且 $P E / /$ 平面 $A B C$ ，则在 $θ$ 变化的过程中（）

A、 $A D ⊥ B C$ B、 $E$ 点到平面 $A D C$ 的距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、点 $P$ 在 $△ A D C$ 内（含边界）的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ D、当 $B P ⊥ A C$ 时， $B P$ 与平面 $A D C$ 所成角的正切值的取值范围为 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 0) ， | \vec{a} + t \vec{b} | = \sqrt{5} (t \neq 0)$ ，则实数 $t =$ ．

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14. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，若 $s i n (α + \frac{π}{13}) + c o s (α - \frac{π}{13}) = 3 c o s 2 α s i n \frac{17 π}{52}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知点 $O$ 是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球球心， $P$ 为球面上一点， $A B = A D = 2$ ，若 $B C_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成的角为 $60 °$ ，则四棱锥 $P - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积的最大值为．

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16. 某人从山的一侧 $A$ 点看山顶的仰角为 $6 0^{∘}$ ，然后沿从 $A$ 到山顶的直线小道行走 $200 \sqrt{3} m$ 到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走 $400 m$ 到达另一侧的山脚 $B$ 处 $(A ， B$ 在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从 $B$ 点看山顶的仰角的正弦值为， $A B$ 的最大值为 $m$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求 $t a n B$ 的值；

(2)、若 $D$ 为边 $A C$ 的中点且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} ， x \geq 0 \\ 2^{a - x} ， x < 0 \end{array}$ 满足 $f (1 - a) = f (a - 1)$ ，设 $h (x) = a^{x}$ ．

(1)、求函数 $y = h (2 x) - h (x) + 1$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的值域；

(2)、若函数 $y = | h (x) + m |$ 和 $y = | h (- x) + m |$ 在区间 $[1 ， 2023]$ 上的单调性相同，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 如图，圆锥 $P O$ 的高为 $3 ， A B$ 是底面圆 $O$ 的直径， $P C ， P D$ 为圆锥的母线，四边形 $A B C D$ 是底面圆 $O$ 的内接等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在母线 $P B$ 上，且 $B E = 2 E P$ ．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P O C$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $P A B$ 的夹角的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，且对任意的 $n \in N^{*} ， a_{n + 2} = λ a_{n + 1} - 2 a_{n} (λ \neq 1)$ ．

(1)、求实数 $λ$ 的值及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $n \in [a_{k} ， a_{k + 1})$ 时， $b_{n} = k (k \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2^{n}$ 项和．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{(k - 1) (x^{2} - 1)}{x} ， k \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $l n (n + 1) < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} + \frac{n + 2}{2 (n + 1)}$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）.

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22. 若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ 且 $x_{1} \neq x_{2} ， m > 1$ 使 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | > m | f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 成立，则在区间 $[a ， b]$ 上，称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $m$ 倍扩张函数”．设 $f (x) = e^{x} ， g (x) = - x^{2} + x$ ，若在区间 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$ 上 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $m$ 倍扩张函数”．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、证明： $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象存在两条公切线．

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