四川省成都市青白江区2022-2023学年高三上学期理数零点五诊试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x ⟩ 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap B =$

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 1$ 或 $x \geq 1}$ C、 ${x | x ⟩ 3}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知命题 $p$ ：“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ，曲线 $f (x) = x^{3} - x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg (p \lor q)$ B、 $p \lor (\neg q)$ C、 $p \land q$ D、 $(\neg p) \land q$

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4. 已知O为坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，点M在抛物线上，且 $| M F | = 3$ ，则 $| O M | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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5. 已知函数 $f (x) = c o s x - 2 c o s^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x - \frac{π}{4}) - 1$ 为奇函数 B、 $y = f (x + \frac{π}{4}) - 1$ 为奇函数 C、 $y = f (x - \frac{π}{4}) + 1$ 为偶函数 D、 $y = f (x + \frac{π}{4}) + 1$ 为偶函数

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6. 函数 $f (x) = \frac{3 + l n (x^{2})}{x}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）

A、18种 B、36种 C、68种 D、84种

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8. 我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨） $(x \in [120 ， 500])$ 之间的函数关系可近似表示为 $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x ， x \in [120 ， 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000 ， x \in [144 ， 500] \end{array}$ ，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）

A、120 B、200 C、240 D、400

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $A C = 2$ ， $B D = 1$ ，则 $(\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{D C}) \cdot (\overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{D B}) =$

A、5 B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、3

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10. 若直线 $l ： (m - 1) x + (2 m - 1) y = 0$ 与曲线 $C ： y = \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}} + 2$ 有公共点，则实数 $m$ 的范围是（）

A、 $[\frac{3}{5} ， 1)$ B、 $[\frac{3}{5} ， 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$

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11. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 设 $a = 15 l n 13$ ， $b = 14 l n 14$ ， $c = 13 l n 15$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 ， \\ x + 2 y \leq 4 \\ y \geq 0 ， \end{array} ，$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是．

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14. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若 $2 c s i n B = 3 a t a n A ， a = 2$ ；则当角A最大时， $△ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

17. 设{a_n}是公比为正数的等比数列a₁=2，a₃=a₂+4．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n ．

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18. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛.根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、计算 $x$ 的值；

(2)、采用按比例分层抽样的方法从成绩在 $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记 $χ$ 为这3人中成绩落在 $[80 ， 90)$ 的人数，求 $χ$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

(1)、证明：AE⊥PB；

(2)、若直线PB与平面ABCE所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为4．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， 1)$ 的直线交椭圆C于A，B两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x - 1}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $λ > 0$ ，若存在 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，不等式 $λ x^{2} - λ x \geq (e^{λ x} - 1) l n x$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + 2 \sqrt{2} \\ y = - t + 2 \sqrt{2} \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $F$ 的极坐标方程为 $ρ = 1$ ．

(1)、求曲线 $F$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $θ = \frac{2 π}{3} (ρ > 0)$ ， $θ = \frac{π}{3} (ρ > 0)$ 和曲线 $F$ 分别交于点 $A$ ， $B$ ，与直线 $l$ 分别交于 $D$ ， $C$ 两点，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - m | (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | x - 3 |$ 的解集包含 $[3 ， 4]$ ，求 $m$ 的取值范围.

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